e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(g) Cov(X^(2))
Passo 1
Beleza, vamos lá! Recebemos um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4] com uma média específica e uma matriz de variância-covariância. Nosso objetivo aqui é encontrar a covariância entre as variáveis X3 e X4, ou seja, Cov(X^(2)). Para isso, vamos precisar entender como a matriz de covariância está organizada e como extrair a parte que nos interessa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da matriz de variância-covariância SigmaX. Ela está organizada da seguinte forma:
Essa matriz é uma matriz 4x4 porque nosso vetor X tem 4 variáveis.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a matriz de covariância pode ser dividida em blocos que correspondem aos subconjuntos de variáveis. No nosso caso, o vetor X está dividido em duas partes:
X=[c X^(1) hdashline X^(2) ]
Aqui, X^(1) = [X1, X2] e X^(2) = [X3, X4].
Passo 4
A matriz de covariância SigmaX pode ser particionada conforme essas divisões:
SigmaX = Sigma11 & Sigma12 Sigma21 & Sigma22
Onde:
Sigma11 é a submatriz de covariância de X^(1).
Sigma22 é a submatriz de covariância de X^(2).
Sigma12 e Sigma21 representam as covariâncias entre X^(1) e X^(2).
Passo 5
Nosso interesse está em Cov(X^(2)), que corresponde à submatriz Sigma22. Observe a matriz original SigmaX: