You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Recebemos um vetor aleatório com uma média específica e uma matriz de variância-covariância. Nosso objetivo aqui é encontrar a covariância entre as variáveis e , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como a matriz de covariância está organizada e como extrair a parte que nos interessa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da matriz de variância-covariância . Ela está organizada da seguinte forma:
Essa matriz é uma matriz 4x4 porque nosso vetor tem 4 variáveis.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a matriz de covariância pode ser dividida em blocos que correspondem aos subconjuntos de variáveis. No nosso caso, o vetor está dividido em duas partes:
Aqui, e .
Passo 4
A matriz de covariância pode ser particionada conforme essas divisões:
Onde:
é a submatriz de covariância de .
é a submatriz de covariância de .
e representam as covariâncias entre e .
Passo 5
Nosso interesse está em , que corresponde à submatriz . Observe a matriz original :
A submatriz está localizada na parte inferior direita dessa matriz, correspondendo às variáveis e .