You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um vetor aleatório com uma média específica e uma matriz de variância-covariância. Nosso objetivo aqui é encontrar a covariância entre as variáveis e , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como a matriz de covariância está organizada e como extrair a parte que nos interessa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da matriz de variância-covariância . Ela está organizada da seguinte forma:
Essa matriz é uma matriz 4x4 porque nosso vetor tem 4 variáveis.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a matriz de covariância pode ser dividida em blocos que correspondem aos subconjuntos de variáveis. No nosso caso, o vetor está dividido em duas partes:
Aqui, e .

Passo 4

A matriz de covariância pode ser particionada conforme essas divisões:
Onde:
  • é a submatriz de covariância de .
  • é a submatriz de covariância de .
  • e representam as covariâncias entre e .

Passo 5

Nosso interesse está em , que corresponde à submatriz . Observe a matriz original :
A submatriz está localizada na parte inferior direita dessa matriz, correspondendo às variáveis e .

Resposta

A covariância entre as variáveis é:

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where and . This verifies the offdiagonal elements in (2-45) or diagonal elements if .
Hint: By and .
The product
has expected value
Verify the last step by the definition of matrix multiplication. The same steps hold for all elements.
These matrices are identical except for a small difference in the position. Moreover, the columns of and are nearly linearly dependent. Show that . Consequently, small changes-perhaps caused by roundingcan give substantially different inverses.
(a) Calculate and obtain its eigenvalues and eigenvectors.