You are given the random vector X^prime=[X1, X2, X3, X4] with mean vector mux^prime=[4,3,2,1] e variance-covariance matrix
Partition X as
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
X=[c X1 X2 hdashline X3 X4 ]=[l X^(1) hdashline X^(2) ]
Let
A=[ll 1 & 2 ] e B=[ll 1 & -2 2 & -1 ]
e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(g) Cov(X^(2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4] com uma média específica e uma matriz de variância-covariância. Nosso objetivo aqui é encontrar a covariância entre as variáveis X3 e X4, ou seja, Cov(X^(2)). Para isso, vamos precisar entender como a matriz de covariância está organizada e como extrair a parte que nos interessa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da matriz de variância-covariância SigmaX. Ela está organizada da seguinte forma:
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
Essa matriz é uma matriz 4x4 porque nosso vetor X tem 4 variáveis.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a matriz de covariância pode ser dividida em blocos que correspondem aos subconjuntos de variáveis. No nosso caso, o vetor X está dividido em duas partes:
X=[c X^(1) hdashline X^(2) ]
Aqui, X^(1) = [X1, X2] e X^(2) = [X3, X4].

Passo 4

A matriz de covariância SigmaX pode ser particionada conforme essas divisões:
SigmaX = Sigma11 & Sigma12 Sigma21 & Sigma22
Onde:
  • Sigma11 é a submatriz de covariância de X^(1).
  • Sigma22 é a submatriz de covariância de X^(2).
  • Sigma12 e Sigma21 representam as covariâncias entre X^(1) e X^(2).

Passo 5

Nosso interesse está em Cov(X^(2)), que corresponde à submatriz Sigma22. Observe a matriz original SigmaX:
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
A submatriz Sigma22 está localizada na parte inferior direita dessa matriz, correspondendo às variáveis X3 e X4.

Resposta

A covariância entre as variáveis X^(2) = [X3, X4] é:
Cov(X^(2)) = Sigma22 = 9 & -2 -2 & 4

Exercícios relacionados