O crescimento decorrido num período de 15 dias para uma população de girassóis segue uma distribuição normal com média 3.18 cm e desvio padrão 0.53 cm.
(b) Seja
a proporção de plantas com crescimento superior a 3 cm em 15 dias numa amostra aleatória de 50 girassóis.
ii. Qual a probabilidade aproximada de que pelo menos metade dos girassóis numa amostra aleatória de 50 girassóis tenha um crescimento superior a 3 cm em 15 dias?
(b) Seja
ii. Qual a probabilidade aproximada de que pelo menos metade dos girassóis numa amostra aleatória de 50 girassóis tenha um crescimento superior a 3 cm em 15 dias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento de girassóis em 15 dias, que segue uma distribuição normal com média de 3,18 cm e desvio padrão de 0,53 cm. A gente vai precisar usar conceitos de distribuição normal e proporções para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, queremos saber a proporção de girassóis que cresceram mais de 3 cm. Para isso, vamos calcular a probabilidade de um girassol crescer mais de 3 cm usando a distribuição normal.
Passo 3
Vamos padronizar o valor usando o z-score. A fórmula para o z-score é:
Onde:
- $ X = 3 $ cm
- $ \mu = 3,18 $ cm
- $ \sigma = 0,53 $ cm
Calculando:
Passo 4
Agora, queremos a probabilidade de $ X > 3 $ cm, que corresponde a $ P(Z > -0,34) $. Olhando na tabela da distribuição normal, $ P(Z > -0,34) $ é igual a $ 1 - P(Z < -0,34) $.
Sabemos que $ P(Z < -0,34) \approx 0,3669 $, então:
Então, a proporção $ p $ de girassóis que crescem mais de 3 cm é aproximadamente 63,31%.
Passo 5
Agora, queremos a probabilidade de pelo menos metade dos 50 girassóis crescer mais de 3 cm. Metade de 50 é 25, então buscamos $ P(\hat{P} \geq 0,5) $.
Como estamos lidando com proporções em uma amostra grande, podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial. A média e o desvio padrão da proporção são dados por:
Passo 6
Queremos encontrar $ P(\hat{P} \geq 0,5) $. Primeiro, calculamos o z-score para $ \hat{P} = 0,5 $:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a probabilidade correspondente a $ z = -1,952 $. Consultando a tabela da distribuição normal, $ P(Z < -1,952) \approx 0,0252 $.
Como queremos $ P(Z \geq -1,952) $, temos:
Resposta
A probabilidade aproximada de que pelo menos metade dos girassóis numa amostra de 50 tenha um crescimento superior a 3 cm em 15 dias é de 97,48%.