O crescimento da espessura da camada limite em uma placa plana é dada:
Para escoamentos laminares:
Para escoamentos turbulentos:
A que distância x do início da placa plana a espessura da camada limite atingirá 1 in se a corrente de água ( v=1,2 times 10^-5 ft^2 / s ) passando sobre a placa tem velocidade de 20 ft / s. Nota: A transição do regime laminar para o turbulento em uma placa plana se dá a Rex= 3 times 10^6 aproximadamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre camadas limites em escoamentos sobre uma placa plana. Basicamente, precisamos descobrir a distância x a partir do início da placa onde a espessura da camada limite atinge 1 polegada. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferenças entre escoamentos laminares e turbulentos, além das fórmulas que descrevem o crescimento da camada limite em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a camada limite. Em um escoamento sobre uma placa plana, a camada limite é a região próxima à superfície da placa onde a velocidade do fluido varia de zero (pela condição de aderência) até a velocidade do fluxo livre. A espessura dessa camada depende do tipo de escoamento: laminar ou turbulento.

Passo 3

Para escoamentos laminares, a espessura da camada limite ( de) pode ser aproximada por:
Onde:
  • é a distância a partir do início da placa.
  • é o número de Reynolds na distância .

Passo 4

Para escoamentos turbulentos, a espessura da camada limite é dada por:
de
Essas fórmulas nos ajudam a calcular a espessura da camada limite dependendo do tipo de escoamento.

Passo 5

O número de Reynolds ( Rex = U cdot xv ) é uma dimensão que indica o regime do escoamento (laminar ou turbulento) e é calculado por:
Onde:
  • é a velocidade do fluxo livre ( no nosso caso).
  • é a viscosidade cinemática ( ).

Passo 6

Sabemos que a transição de laminar para turbulento ocorre quando . Vamos calcular a distância onde a espessura da camada limite é polegada ( ) usando ambas as fórmulas e verificar em qual regime estamos.

Passo 7

Primeiro, assumindo que o escoamento é laminar, usamos a fórmula da camada limite laminar:
112 = 5 cdot x cdot 1raiz20 cdot x1.2 times 10^-5
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 8

Simplificando a equação laminar:
112 = 5x cdot 1raiz20x1.2 times 10^-5 112 = 5x cdot 1raiz201.2 times 10^-5 cdot x 112 = 5x cdot 1raiz1.6667 times 10^6 cdot x 112 = 5x cdot 11291 cdot raizx

Passo 9

Continuando a simplificação:
112 = 5x1291 raizx 112 = 5 raizx1291 raizx = 12915 cdot 12 raizx = 129160 raizx approx 21.517

Passo 10

Elevando ao quadrado para encontrar x = (21.517)^2 x approx 462.3 , ft :

Passo 11

Agora, vamos verificar se esse Rex = 20 cdot 462.31.2 times 10^-5 Rex = 92461.2 times 10^-5 Rex approx 7.705 times 10^8 está no regime laminar ou turbulento. Calculamos o número de Reynolds:

Passo 12

Como é muito maior que , nosso escoamento na distância é turbulento, não laminar. Isso significa que precisamos usar a fórmula da camada limite turbulenta para encontrar a distância correta.

Passo 13

Usando a fórmula da camada limite turbulenta:
112 = 0.37 cdot x cdot ( 20 cdot x1.2 times 10^-5 )^-1/5
Vamos resolver essa equação para .

Passo 14

Simplificando a equação turbulenta:
112 = 0.37x cdot ( 20x1.2 times 10^-5 )^-0.2 112 = 0.37x cdot ( 1.6667 times 10^6 x )^-0.2 112 = 0.37x cdot ( 1.6667 times 10^6 )^-0.2 cdot x^-0.2 112 = 0.37x cdot (1.6667 times 10^6)^-0.2 cdot x^-0.2 112 = 0.37 cdot (1.6667 times 10^6)^-0.2 cdot x^0.8

Passo 15

Resolvendo para x^0.8 = 112 cdot 0.37 cdot (1.6667 times 10^6)^-0.2 x^0.8 approx 14.44 cdot 0.025 x^0.8 approx 10.111 x^0.8 approx 9.009 :

Passo 16

Agora, elevamos ambos os lados a x = (9.009)^1.25 x approx 17.1 , ft para encontrar :

Resposta

A distância a partir do início da placa onde a espessura da camada limite atinge 1 polegada é aproximadamente 17,1 pés.

Exercícios relacionados