O crescimento da espessura da camada limite em uma placa plana é dada:
Para escoamentos laminares:
Para escoamentos turbulentos:
A que distância x do início da placa plana a espessura da camada limite atingirá 1 in se a corrente de água ( ) passando sobre a placa tem velocidade de . Nota: A transição do regime laminar para o turbulento em uma placa plana se dá a aproximadamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre camadas limites em escoamentos sobre uma placa plana. Basicamente, precisamos descobrir a distância x a partir do início da placa onde a espessura da camada limite atinge 1 polegada. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferenças entre escoamentos laminares e turbulentos, além das fórmulas que descrevem o crescimento da camada limite em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a camada limite. Em um escoamento sobre uma placa plana, a camada limite é a região próxima à superfície da placa onde a velocidade do fluido varia de zero (pela condição de aderência) até a velocidade do fluxo livre. A espessura dessa camada depende do tipo de escoamento: laminar ou turbulento.

Passo 3

Para escoamentos laminares, a espessura da camada limite ( ) pode ser aproximada por:
Onde:
  • é a distância a partir do início da placa.
  • é o número de Reynolds na distância .

Passo 4

Para escoamentos turbulentos, a espessura da camada limite é dada por:
Essas fórmulas nos ajudam a calcular a espessura da camada limite dependendo do tipo de escoamento.

Passo 5

O número de Reynolds ( ) é uma dimensão que indica o regime do escoamento (laminar ou turbulento) e é calculado por:
Onde:
  • é a velocidade do fluxo livre ( no nosso caso).
  • é a viscosidade cinemática ( ).

Passo 6

Sabemos que a transição de laminar para turbulento ocorre quando . Vamos calcular a distância onde a espessura da camada limite é polegada ( ) usando ambas as fórmulas e verificar em qual regime estamos.

Passo 7

Primeiro, assumindo que o escoamento é laminar, usamos a fórmula da camada limite laminar:
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 8

Simplificando a equação laminar:

Passo 9

Continuando a simplificação:

Passo 10

Elevando ao quadrado para encontrar :

Passo 11

Agora, vamos verificar se esse está no regime laminar ou turbulento. Calculamos o número de Reynolds:

Passo 12

Como é muito maior que , nosso escoamento na distância é turbulento, não laminar. Isso significa que precisamos usar a fórmula da camada limite turbulenta para encontrar a distância correta.

Passo 13

Usando a fórmula da camada limite turbulenta:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 14

Simplificando a equação turbulenta:

Passo 15

Resolvendo para :

Passo 16

Agora, elevamos ambos os lados a para encontrar :

Resposta

A distância a partir do início da placa onde a espessura da camada limite atinge 1 polegada é aproximadamente 17,1 pés.

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