O crescimento da espessura da camada limite em uma placa plana é dada:
Para escoamentos laminares:
Para escoamentos turbulentos:
A que distância x do início da placa plana a espessura da camada limite atingirá 1 in se a corrente de água (
) passando sobre a placa tem velocidade de
. Nota: A transição do regime laminar para o turbulento em uma placa plana se dá a
aproximadamente.
Para escoamentos laminares:
Para escoamentos turbulentos:
A que distância x do início da placa plana a espessura da camada limite atingirá 1 in se a corrente de água (
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre camadas limites em escoamentos sobre uma placa plana. Basicamente, precisamos descobrir a distância x a partir do início da placa onde a espessura da camada limite atinge 1 polegada. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferenças entre escoamentos laminares e turbulentos, além das fórmulas que descrevem o crescimento da camada limite em cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a camada limite. Em um escoamento sobre uma placa plana, a camada limite é a região próxima à superfície da placa onde a velocidade do fluido varia de zero (pela condição de aderência) até a velocidade do fluxo livre. A espessura dessa camada depende do tipo de escoamento: laminar ou turbulento.
Passo 3
Para escoamentos laminares, a espessura da camada limite (
) pode ser aproximada por:
Onde:
-
é a distância a partir do início da placa. -
é o número de Reynolds na distância .
Passo 4
Para escoamentos turbulentos, a espessura da camada limite é dada por:
Essas fórmulas nos ajudam a calcular a espessura da camada limite dependendo do tipo de escoamento.
Passo 5
O número de Reynolds (
) é uma dimensão que indica o regime do escoamento (laminar ou turbulento) e é calculado por:
Onde:
-
é a velocidade do fluxo livre ( no nosso caso). -
é a viscosidade cinemática ( ).
Passo 6
Sabemos que a transição de laminar para turbulento ocorre quando
. Vamos calcular a distância
onde a espessura da camada limite é
polegada (
) usando ambas as fórmulas e verificar em qual regime estamos.
Passo 7
Primeiro, assumindo que o escoamento é laminar, usamos a fórmula da camada limite laminar:
Vamos simplificar essa equação para encontrar
.
Passo 8
Simplificando a equação laminar:
Passo 9
Continuando a simplificação:
Passo 10
Elevando ao quadrado para encontrar
:
Passo 11
Agora, vamos verificar se esse
está no regime laminar ou turbulento. Calculamos o número de Reynolds:
Passo 12
Como
é muito maior que
, nosso escoamento na distância
é turbulento, não laminar. Isso significa que precisamos usar a fórmula da camada limite turbulenta para encontrar a distância correta.
Passo 13
Usando a fórmula da camada limite turbulenta:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 14
Simplificando a equação turbulenta:
Passo 15
Resolvendo para
:
Passo 16
Agora, elevamos ambos os lados a
para encontrar
:
Resposta
A distância a partir do início da placa onde a espessura da camada limite atinge 1 polegada é aproximadamente 17,1 pés.