Considere o escoamento laminar, permanente, completamente desenvolvido de um líquido viscoso para baixo sobre uma superfície ( theta=30^circ com o plano horizontal). Encontre:
a) O perfil de velocidades.
b) A expressão para a taxa volumétrica por unidade de largura.
c) O perfil de tensões cisalhantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento laminar de um líquido viscoso descendo uma superfície inclinada a 30 graus em relação ao plano horizontal. A gente vai precisar entender conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente o escoamento laminar, além de conhecer as leis de Newton para fluidos viscosos. Vamos resolver as três partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a) Encontrar o perfil de velocidades.
Primeiro, vamos pensar no que significa escoamento laminar, permanente e completamente desenvolvido. Essencialmente, isso quer dizer que a velocidade do fluido só varia na direção perpendicular à superfície inclinada e não muda com o tempo ou ao longo da direção do fluxo.
A equação básica que descreve esse tipo de escoamento é a equação de Navier-Stokes simplificada para essas condições. Considerando coordenadas onde mu d^2 udy^2 = rho g sin(theta) é a direção do fluxo e é perpendicular à superfície:
Aqui, é a viscosidade dinâmica, a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e o ângulo da inclinação.

Passo 3

Para encontrar o perfil de velocidades mu dudy = rho g sin(theta) y + C1 , vamos integrar a equação diferencial:
Primeira integração:
u(y) = rho g sin(theta)2mu y^2 + C1 y + C2
Segunda integração:
u(y) = rho g sin(theta)2mu y^2 - rho g sin(theta)mu h y
Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que na superfície inclinada ( u(y) = rho g sin(theta)2mu (y^2 - 2hy) ), a velocidade é zero (condição de aderência). Na interface livre ( ), a tensão de cisalhamento é zero (condição de equilíbrio):
Substituindo os valores de e na expressão de :
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
u(y) = rho g sin(30^circ)2mu (y^2 - 2hy)
Sabendo que u(y) = rho g times 0,52mu (y^2 - 2hy) :
u(y) = rho g4mu (y^2 - 2hy)
Esse é o perfil de velocidades do escoamento laminar na superfície inclinada.

Passo 5

Parte b) Expressão para a taxa volumétrica por unidade de largura.
A taxa volumétrica por unidade de largura q = integral0^h u(y) , dy é obtida integrando o perfil de velocidades q = rho g4mu integral0^h (y^2 - 2hy) , dy na direção q = rho g4mu [ y^33 - h y^2 ]0^h :
q = rho g4mu ( h^33 - h times h^2 )
Substituindo q = rho g4mu ( h^33 - h^3 ) :
q = rho g4mu ( -2h^33 )
Integrando termo a termo:
q = -rho g h^36mu
q = rho g h^36mu
Como a taxa volumétrica não pode ser negativa, o sinal indica a direção do fluxo. Portanto:

Passo 6

Parte c) Perfil de tensões cisalhantes.
A tensão de cisalhamento tau(y) = mu dudy em um fluido viscoso é dada por:
dudy = rho g4mu (2y - 2h)
Vamos calcular a derivada da velocidade dudy = rho g2mu (y - h) :
tau(y) = mu times rho g2mu (y - h)
tau(y) = rho g2 (y - h)
Portanto, a tensão de cisalhamento ��:
Isso indica que a tensão de cisalhamento varia linearmente com , sendo máxima na interface com a superfície inclinada e zero na superfície livre.

Resposta

a) O perfil de velocidades é .
b) A taxa volumétrica por unidade de largura é .
c) O perfil de tensões cisalhantes é .

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