Considere o escoamento laminar, permanente, completamente desenvolvido de um líquido viscoso para baixo sobre uma superfície ( com o plano horizontal). Encontre:
a) O perfil de velocidades.
b) A expressão para a taxa volumétrica por unidade de largura.
c) O perfil de tensões cisalhantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento laminar de um líquido viscoso descendo uma superfície inclinada a 30 graus em relação ao plano horizontal. A gente vai precisar entender conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente o escoamento laminar, além de conhecer as leis de Newton para fluidos viscosos. Vamos resolver as três partes do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte a) Encontrar o perfil de velocidades.
Primeiro, vamos pensar no que significa escoamento laminar, permanente e completamente desenvolvido. Essencialmente, isso quer dizer que a velocidade do fluido só varia na direção perpendicular à superfície inclinada e não muda com o tempo ou ao longo da direção do fluxo.
A equação básica que descreve esse tipo de escoamento é a equação de Navier-Stokes simplificada para essas condições. Considerando coordenadas onde é a direção do fluxo e é perpendicular à superfície:
Aqui, é a viscosidade dinâmica, a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e o ângulo da inclinação.
Passo 3
Para encontrar o perfil de velocidades , vamos integrar a equação diferencial:
Primeira integração:
Segunda integração:
Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que na superfície inclinada (), a velocidade é zero (condição de aderência). Na interface livre (), a tensão de cisalhamento é zero (condição de equilíbrio):
Substituindo os valores de e na expressão de :
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Simplificando a expressão, temos:
Sabendo que :
Esse é o perfil de velocidades do escoamento laminar na superfície inclinada.
Passo 5
Parte b) Expressão para a taxa volumétrica por unidade de largura.
A taxa volumétrica por unidade de largura é obtida integrando o perfil de velocidades na direção :
Substituindo :
Integrando termo a termo:
Como a taxa volumétrica não pode ser negativa, o sinal indica a direção do fluxo. Portanto:
Passo 6
Parte c) Perfil de tensões cisalhantes.
A tensão de cisalhamento em um fluido viscoso é dada por:
Vamos calcular a derivada da velocidade :
Portanto, a tensão de cisalhamento ��:
Isso indica que a tensão de cisalhamento varia linearmente com , sendo máxima na interface com a superfície inclinada e zero na superfície livre.