Uma placa delgada é instalada num túnel de água como partidora de escoamento. Ela tem de comprimento por um metro de largura. A velocidade da corrente livre é 1,6 . Camadas limites laminares se formam em ambos os lados da placa. O perfil de velocidade da camada limite é aproximado por:
Determine a força de cisalhamento total na placa.
A espessura da camada limite pode ser aproximada por:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma placa fina instalada em um túnel de água, com dimensões de 0,3 metros de comprimento e 1 metro de largura. A velocidade da corrente livre é de 1,6 metros por segundo. Nas duas faces da placa, formam-se camadas limites laminares. O exercício nos pede para determinar a força de cisalhamento total na placa, utilizando as aproximações dadas para o perfil de velocidade da camada limite e para a espessura da camada limite.
Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre camadas limites laminares e forças de cisalhamento. Vamos também utilizar fórmulas que relacionam a velocidade do fluxo, a viscosidade do fluido e as dimensões da placa para calcular a força de cisalhamento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a camada limite. Quando um fluido fluindo sobre uma superfície sólida, como nossa placa, ele formará uma camada onde a velocidade do fluido varia de zero na superfície (devido à condição de aderência) até atingir a velocidade livre fora da camada. Essa região é chamada de camada limite.
Para camadas limites laminares em um fluxo sobre uma placa plana, a espessura da camada limite () pode ser approximada pela seguinte fórmula:
onde:
é a distância a partir da ponta de entrada da placa,
é o número de Reynolds local, dado por ,
é a velocidade do fluxo livre,
é a viscosidade cinemática do fluido.
Passo 3
No entanto, para simplificar nossos cálculos, assumiremos que a espessura da camada limite () é constante ao longo do comprimento da placa. Dessa forma, podemos usar uma aproximação simplificada:
Agora, precisamos relacionar a força de cisalhamento () à viscosidade do fluido e à área da placa. A força de cisalhamento é dada por:
onde:
é a tensão de cisalhamento na superfície da placa,
é a área da superfície da placa.
Para a camada limite laminar, a tensão de cisalhamento pode ser aproximada por:
mas, usando relações simplificadas para fluxo laminar sobre uma placa plana, podemos expressar em termos do número de Reynolds e das propriedades do fluido.
Passo 4
Vamos agora calcular a área da placa. Como a placa tem 0,3 metros de comprimento e 1 metro de largura, a área () é:
²
Passo 5
Para determinar a força de cisalhamento total, precisamos da fórmula adequada para um fluxo laminar sobre uma placa plana. A força de cisalhamento por unidade de largura () pode ser calculada usando:
onde:
,
é o comprimento da placa,
é a viscosidade dinâmica do fluido,
é a viscosidade cinemática.
Entretanto, como não temos os valores da viscosidade fornecidos no enunciado, assumiremos que tais dados sejam fornecidos ou que possamos trabalhar com relações proporcionais.
Passo 6
Supondo que tenhamos os valores de viscosidade, podemos proceder da seguinte forma:
Calcular o número de Reynolds usando .
Determinar a força de cisalhamento por unidade de largura ().
Multiplicar pelo comprimento da placa para obter a força total de cisalhamento ().
Infelizmente, sem os valores específicos da viscosidade ( ou ), não podemos calcular um valor numérico exato para a força de cisalhamento. Se esses valores forem fornecidos, poderemos proceder com os cálculos.
Resposta
Sem os valores da viscosidade do fluido, não é possível determinar numericamente a força de cisalhamento total na placa. Por favor, forneça os valores de viscosidade para prosseguirmos com o cálculo.