Numa criação de coelhos 40 % são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 2 machos num dia em que nasceram 20 coelhos? Calcule a E(M) e a Var(M).

Passo 1

Então, o enunciado nos diz que em uma criação de coelhos, 40% são machos. Queremos descobrir a probabilidade de, em um dia onde nascem 20 coelhos, pelo menos 2 sejam machos. Além disso, vamos calcular o valor esperado e a variância da quantidade de machos. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é adequada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada nascimento de um coelho pode ser visto como uma “tentativa”, onde o “sucesso” é nascer um macho. A probabilidade de sucesso é 0,4 (40%) e a de fracasso é 0,6 (60%). Como queremos pelo menos 2 machos, precisamos calcular , que é igual a 1 menos a probabilidade de ter 0 ou 1 macho.

Passo 3

Vamos calcular P(M = 0) = binom200 (0,4)^0 (0,6)^20 = 1 times 1 times 0,6^20 , que é a probabilidade de nenhum macho nascer:

Passo 4

Agora, vamos calcular P(M = 1) = binom201 (0,4)^1 (0,6)^19 = 20 times 0,4 times 0,6^19 , a probabilidade de apenas um macho nascer:

Passo 5

Somamos as probabilidades de 0 e 1 macho:
P(M <= 1) = P(M = 0) + P(M = 1) = 0,6^20 + 20 times 0,4 times 0,6^19

Passo 6

Então, a probabilidade de ter pelo menos 2 machos é:
P(M >= 2) = 1 - P(M <= 1) = 1 - (0,6^20 + 20 times 0,4 times 0,6^19)

Passo 7

Para calcular o valor esperado E(M) = n times p = 20 times 0,4 = 8 , usamos a fórmula da média da distribuição binomial:

Passo 8

A variância Var(M) = n times p times (1 - p) = 20 times 0,4 times 0,6 = 4,8 da distribuição binomial é dada por:

Resposta

A probabilidade de que nasçam pelo menos 2 machos é . O valor esperado é e a variância é .

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