Uma cultura de bactérias cresce segundo a lei , onde N(t) é o número de bactérias em t horas, , e a e x são constantes estritamente positivas. Se após 2 horas o número inicial de bactérias, N(0), é duplicado, após 6 horas o número de bactérias será. Escolha uma:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma cultura de bactérias que cresce de acordo com uma lei de crescimento exponencial, onde $ N(t) $ representa o número de bactérias após $ t $ horas. As constantes $ a $ e $ x $ são positivas. Sabemos que após 2 horas, o número inicial de bactérias, $ N(0) $, duplica. A pergunta é: qual será o número de bactérias após 6 horas?
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula de crescimento exponencial. A expressão geral para o crescimento exponencial é:
Aqui, $ N(t) $ é o número de bactérias no tempo $ t $, $ N_0 $ é o número inicial de bactérias, $ e $ é a base do logaritmo natural, e $ a $ é a taxa de crescimento.
Passo 3
Sabemos que após 2 horas, o número de bactérias duplica. Isso significa:
Podemos dividir ambos os lados por $ N_0 $ para simplificar:
Para encontrar o valor de $ a $, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Então,
Passo 4
Agora, queremos saber quantas bactérias teremos após 6 horas. Usamos a mesma fórmula:
Substituindo $ a $ pelo valor que encontramos:
Simplificando $ e^{3 \ln(2)} $:
Portanto,
Resposta
Após 6 horas, o número de bactérias será 8 vezes o número inicial, ou seja, $ 8 \cdot N_0 $.