a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a união dos conjuntos
com
é igual a
. Aqui, estamos trabalhando com teoria de conjuntos, especificamente operações como união (
) e diferença (
). Para resolver isso, vamos mostrar que cada lado dessa igualdade está contido no outro, ou seja, provar que
e vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
. Seja um elemento
que pertence a
. Isso significa que
está em
ou em
.
Passo 3
Se
está em
, então claramente
está em
. Além disso, se
está em
, não pode estar em
porque
contém apenas elementos de
que não estão em
. Portanto,
pertence a
.
Passo 4
Agora, se
está em
, isso significa que
está em
e não está em
. Logo,
também está em
e, como
não está em
, ele definitivamente não está em
. Assim,
pertence a
.
Passo 5
Agora, vamos mostrar a outra direção:
. Seja
um elemento de
. Isso significa que
está em
e não está em
.
Passo 6
Se
está em
, ele está ou em
ou em
. Se
está em
, então ele claramente está em
. Se
está em
mas não está em
, isso significa que ou
não está em
ou ele está em
. Se
não está em
, então
está em
, então
está em
.
Resposta
Portanto, mostramos que
. A igualdade é verdadeira!
Exercícios relacionados
Justifique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes:
e) A soma de um inteiro com um racional não inteiro pode ser um inteiro.
e) A soma de um inteiro com um racional não inteiro pode ser um inteiro.
a) Se
, então
;
Sabendo que a soma de dois números naturais
, definida por
, calcule:
c)
c)
(a)
;