Extraímos duas bolas sem reposição de uma urna contendo duas bolas brancas e três vermelhas. Definimos X , a variável aleatória que descreve o número de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações. Construa a função de probabilidade e de distribuição para X e os respectivos gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre extrair duas bolas de uma urna que tem duas brancas e três vermelhas, sem colocar de volta depois da primeira extração. A gente quer saber quantas bolas vermelhas podemos tirar nessas duas extrações. Isso envolve conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias. Vamos precisar calcular as chances de tirar 0, 1 ou 2 bolas vermelhas e depois montar as funções de probabilidade e distribuição para esses casos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as possíveis situações que podem acontecer quando extraímos duas bolas. Como temos 2 brancas (B) e 3 vermelhas (V), o total de bolas é 5. Ao tirar duas bolas sem reposição, as combinações possíveis são:
- B e B
- B e V
- V e B
- V e V
Cada combinação representa um resultado diferente para a variável aleatória $ X $, que é o número de bolas vermelhas tiradas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de $ X $:
-
$ X = 0 $ (tirar 0 bolas vermelhas, ou seja, duas brancas):
- A primeira bola é branca: $ \frac{2}{5} $
- A segunda bola também é branca: $ \frac{1}{4} $ (porque já tiramos uma branca)
- Então, a probabilidade é: $ \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $
-
$ X = 1 $ (tirar uma bola vermelha e uma branca):
- Pode acontecer de tirar uma vermelha primeiro e depois uma branca, ou uma branca primeiro e depois uma vermelha.
- Primeiro caso:
- Primeira vermelha: $ \frac{3}{5} $
- Segunda branca: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
- Probabilidade: $ \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} $
- Segundo caso:
- Primeira branca: $ \frac{2}{5} $
- Segunda vermelha: $ \frac{3}{4} $
- Probabilidade: $ \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $
- Total para $ X = 1 $: $ \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
-
$ X = 2 $ (tirar duas bolas vermelhas):
- Primeira vermelha: $ \frac{3}{5} $
- Segunda vermelha: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
- Probabilidade: $ \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} $
Passo 4
Agora que temos as probabilidades para cada valor de $ X $, vamos construir a função de probabilidade $ P(X) $:
Passo 5
A função de distribuição acumulada $ F(X) $ mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Vamos calcular:
Passo 6
Para os gráficos, vamos representar tanto a função de probabilidade quanto a função de distribuição:
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Função de Probabilidade:
- No eixo horizontal ($ X $), colocamos os valores possíveis: 0, 1, 2.
- No eixo vertical ($ P(X) $), colocamos as probabilidades correspondentes: $ \frac{1}{10} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{3}{10} $.
- Cada ponto é representado por uma barra na altura da probabilidade.
-
Função de Distribuição:
- Também no eixo horizontal ($ X $), temos 0, 1, 2.
- No eixo vertical ($ F(X) $), colocamos as probabilidades acumuladas: 0, $ \frac{1}{10} $, $ \frac{7}{10} $, 1.
- A função é representada por etapas, aumentando de acordo com os valores acumulados.
Resposta
A função de probabilidade $ P(X) $ e a função de distribuição $ F(X) $ para o número de bolas vermelhas tiradas são:
Os gráficos dessas funções mostram as probabilidades e as probabilidades acumuladas para cada possível número de bolas vermelhas tiradas nas duas extrações.