Extraímos duas bolas sem reposição de uma urna contendo duas bolas brancas e três vermelhas. Definimos X , a variável aleatória que descreve o número de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações. Construa a função de probabilidade e de distribuição para X e os respectivos gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre extrair duas bolas de uma urna que tem duas brancas e três vermelhas, sem colocar de volta depois da primeira extração. A gente quer saber quantas bolas vermelhas podemos tirar nessas duas extrações. Isso envolve conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias. Vamos precisar calcular as chances de tirar 0, 1 ou 2 bolas vermelhas e depois montar as funções de probabilidade e distribuição para esses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as possíveis situações que podem acontecer quando extraímos duas bolas. Como temos 2 brancas (B) e 3 vermelhas (V), o total de bolas é 5. Ao tirar duas bolas sem reposição, as combinações possíveis são:
  1. B e B
  2. B e V
  3. V e B
  4. V e V
Cada combinação representa um resultado diferente para a variável aleatória $ X $, que é o número de bolas vermelhas tiradas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de $ X $:
  1. $ X = 0 $ (tirar 0 bolas vermelhas, ou seja, duas brancas):
    • A primeira bola é branca: $ \frac{2}{5} $
    • A segunda bola também é branca: $ \frac{1}{4} $ (porque já tiramos uma branca)
    • Então, a probabilidade é: $ \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $
  2. $ X = 1 $ (tirar uma bola vermelha e uma branca):
    • Pode acontecer de tirar uma vermelha primeiro e depois uma branca, ou uma branca primeiro e depois uma vermelha.
    • Primeiro caso:
      • Primeira vermelha: $ \frac{3}{5} $
      • Segunda branca: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
      • Probabilidade: $ \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} $
    • Segundo caso:
      • Primeira branca: $ \frac{2}{5} $
      • Segunda vermelha: $ \frac{3}{4} $
      • Probabilidade: $ \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $
    • Total para $ X = 1 $: $ \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
  3. $ X = 2 $ (tirar duas bolas vermelhas):
    • Primeira vermelha: $ \frac{3}{5} $
    • Segunda vermelha: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
    • Probabilidade: $ \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} $

Passo 4

Agora que temos as probabilidades para cada valor de $ X $, vamos construir a função de probabilidade $ P(X) $:
X

Passo 5

A função de distribuição acumulada $ F(X) $ mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Vamos calcular:
F(X)

Passo 6

Para os gráficos, vamos representar tanto a função de probabilidade quanto a função de distribuição:
  1. Função de Probabilidade:
    • No eixo horizontal ($ X $), colocamos os valores possíveis: 0, 1, 2.
    • No eixo vertical ($ P(X) $), colocamos as probabilidades correspondentes: $ \frac{1}{10} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{3}{10} $.
    • Cada ponto é representado por uma barra na altura da probabilidade.
  2. Função de Distribuição:
    • Também no eixo horizontal ($ X $), temos 0, 1, 2.
    • No eixo vertical ($ F(X) $), colocamos as probabilidades acumuladas: 0, $ \frac{1}{10} $, $ \frac{7}{10} $, 1.
    • A função é representada por etapas, aumentando de acordo com os valores acumulados.

Resposta

A função de probabilidade $ P(X) $ e a função de distribuição $ F(X) $ para o número de bolas vermelhas tiradas são:
P(X)
F(X)
Os gráficos dessas funções mostram as probabilidades e as probabilidades acumuladas para cada possível número de bolas vermelhas tiradas nas duas extrações.

Exercícios relacionados