Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
r(t) = <12t, 8t^(3/2), 3t^2>
(b) (1.5 pontos) A curvatura kappa(t) = || r'(t) x r''(t) || / || r'(t) ||^3 no ponto <12,8,3>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada pela função e precisamos encontrar a curvatura no ponto . Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura que envolve as derivadas da função vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Olhando para cada componente:
Então, é o valor que nos interessa.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada da função vetor , que é . Isso nos dá a velocidade da curva:
No ponto :

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada , que nos dá a aceleração da curva:
No ponto :

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da curvatura:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
A norma desse vetor é:
Agora, a norma de :
Finalmente, substituímos na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura no ponto é .

Exercícios relacionados

A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
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A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
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