Nos exercícios abaixo estabeleça a série de Taylor de f(x) no ponto c indicado. f(x) = e^(2x) ; c = -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de séries de funções. Para resolver, vamos precisar saber como construir a série de Taylor usando derivadas da função no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral da série de Taylor de uma função em torno de é:
Aqui, representa a n-ésima derivada da função avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
E, de maneira geral, a n-ésima derivada é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Porque , então .

Resposta

A série de Taylor de no ponto é:

Exercícios relacionados

Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
r(t) = <12t, 8t^(3/2), 3t^2>
(b) (1.5 pontos) A curvatura kappa(t) = || r'(t) x r''(t) || / || r'(t) ||^3 no ponto <12,8,3>
A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
(b) Determine a curvatura da cúbica retorcida r(t)=lang<= t, t^2, t^3rang<= em t=0.
Para cada uma das séries de potências de x abaixo determine o intervalo de convergência: sumn=2^infty ln nn^3 x^n
Calcule as derivadas das funções vetoriais
© u(t) = 2 cos(t) i + 4 sen(t) j + t k