A curvatura de uma curva um dado ponto é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em e é dada por
onde é o vetor tangente unitário em .
(b) Determine a curvatura da cúbica retorcida em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a curvatura da cúbica retorcida no ponto . Estamos lidando com o conceito de curvatura em cálculo vetorial, que nos ajuda a entender o quanto uma curva está “virando” em um ponto específico. Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura que envolve derivadas do vetor posição da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a primeira derivada de , que é . Isso nos dá a velocidade do ponto que se move ao longo da curva.
Então, derivando em relação a :
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , que é . Isso nos dá a aceleração do ponto na curva.
Derivando :
Passo 4
Com e em mãos, precisamos calcular o produto vetorial entre eles, ou seja, . Esse produto nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por e , o que é útil para calcular a curvatura.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial, | r'(t) times r''(t) | = raiz(6t^2)^2 + (-6t)^2 + 2^2 . A magnitude de um vetor = raiz36t^4 + 36t^2 + 4 é dada por .
Passo 6
Em seguida, precisamos encontrar a magnitude de r'(t) = lang<= 1, 2t, 3t^2 rang<= , que é | r'(t) | = raiz1^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2 .
= raiz1 + 4t^2 + 9t^4
Passo 7
Com as magnitudes calculadas, podemos usar a fórmula da curvatura: