A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
(b) Determine a curvatura da cúbica retorcida r(t)=lang<= t, t^2, t^3rang<= em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a curvatura da cúbica retorcida no ponto . Estamos lidando com o conceito de curvatura em cálculo vetorial, que nos ajuda a entender o quanto uma curva está “virando” em um ponto específico. Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura que envolve derivadas do vetor posição da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a primeira derivada de r(t) = lang<= t, t^2, t^3 rang<= , que é r'(t) = lang<= 1, 2t, 3t^2 rang<= . Isso nos dá a velocidade do ponto que se move ao longo da curva.
Então, derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de r''(t) = lang<= 0, 2, 6t rang<= , que é . Isso nos dá a aceleração do ponto na curva.
Derivando :

Passo 4

Com r'(t) times r''(t) = i & j & k 1 & 2t & 3t^2 0 & 2 & 6t e r'(t) times r''(t) = i(2t cdot 6t - 3t^2 cdot 2) - j(1 cdot 6t - 3t^2 cdot 0) + k(1 cdot 2 - 2t cdot 0) em mãos, precisamos calcular o produto vetorial entre eles, ou seja, r'(t) times r''(t) = i(12t^2 - 6t^2) - j(6t) + k(2) . Esse produto nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por r'(t) times r''(t) = lang<= 6t^2, -6t, 2 rang<= e , o que é útil para calcular a curvatura.
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial, | r'(t) times r''(t) | = raiz(6t^2)^2 + (-6t)^2 + 2^2 . A magnitude de um vetor = raiz36t^4 + 36t^2 + 4 é dada por .

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar a magnitude de r'(t) = lang<= 1, 2t, 3t^2 rang<= , que é | r'(t) | = raiz1^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2 .
= raiz1 + 4t^2 + 9t^4

Passo 7

Com as magnitudes calculadas, podemos usar a fórmula da curvatura:
kappa(t) = | r'(t) times r''(t) | | r'(t) |^3
Substituindo os valores que encontramos:
kappa(t) = raiz36t^4 + 36t^2 + 4 ( raiz1 + 4t^2 + 9t^4 )^3

Passo 8

Agora vamos avaliar essa expressão no ponto raiz36(0)^4 + 36(0)^2 + 4 = raiz0 + 0 + 4 = 2 :
Primeiro, calculamos o numerador:
( raiz1 + 4(0)^2 + 9(0)^4 )^3 = ( raiz1 + 0 + 0 )^3 = 1^3 = 1
Depois, o denominador:

Resposta

Portanto, a curvatura da cúbica retorcida kappa(0) = 21 = 2 no ponto é:

Exercícios relacionados

A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio R é 1 / R.
Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: integral0^1 / 3 11+x^6 d x
Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
r(t) = <12t, 8t^(3/2), 3t^2>
(b) (1.5 pontos) A curvatura kappa(t) = || r'(t) x r''(t) || / || r'(t) ||^3 no ponto <12,8,3>
Nos exercícios abaixo estabeleça a série de Taylor de f(x) no ponto c indicado. f(x) = e^(2x) ; c = -1