Calcule
integral triplaE raizx^2+y^2 d V
onde E é a região limitada pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=6.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o cálculo do integrando triplo
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV
Aqui, a região E é limitada pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 6. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, porque a forma da região é simétrica em torno do eixo z. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
  • dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o integrando raizx^2 + y^2 em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
raizx^2 + y^2 = r
Então, o integrando fica simplesmente r.

Passo 3

Agora, substituindo tudo na integral original, temos:
integral triplaE r cdot r , dz , dr , dtheta = integral triplaE r^2 , dz , dr , dtheta
Aqui, multiplicamos por r porque o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é r , dr , dtheta , dz.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • Para z: O paraboloide é z = r^2 e o plano é z = 6. Então, z varia de r^2 a 6.
  • Para r: Encontramos o valor máximo de r quando z = 6. De z = r^2, temos r = raiz6.
  • Para theta: Como a região é completa em torno do eixo, theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Agora, montamos a integral com os limites encontrados:
integral0^2pi integral0^raiz6 integralr^2^6 r^2 , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:
integralr^2^6 r^2 , dz = r^2 [ z ]r^2^6 = r^2 (6 - r^2) = 6r^2 - r^4

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^2pi integral0^raiz6 (6r^2 - r^4) , dr , dtheta

Passo 8

Vamos agora integrar em relação a r:
integral0^raiz6 (6r^2 - r^4) , dr = 6 cdot r^33 - r^55 g|0^raiz6 = 2r^3 - r^55 g|0^raiz6
Calculando:
2(raiz6)^3 - (raiz6)^55 = 2 cdot 6raiz6 - 36raiz65 = 12raiz6 - 36raiz65 = 60raiz6 - 36raiz65 = 24raiz65

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 24raiz65 , dtheta = 24raiz65 cdot 2pi = 48piraiz65

Resposta

48piraiz65

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