onde é a região limitada pelo paraboloide e pelo plano .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o cálculo do integrando triplo
Aqui, a região é limitada pelo paraboloide e pelo plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, porque a forma da região é simétrica em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o integrando em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então, o integrando fica simplesmente .
Passo 3
Agora, substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, multiplicamos por porque o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
Para : O paraboloide é e o plano é . Então, varia de a .
Para : Encontramos o valor máximo de quando . De , temos .
Para : Como a região é completa em torno do eixo, varia de a .
Passo 5
Agora, montamos a integral com os limites encontrados: