Seja a região correspondente ao trapézio de vértices e . Construa uma parametrização
que seja uma transformação transformação linear, que leve em e em . Utilize essa parametrização para preencher a igualdade
Atenção: Você precisa usar variáveis com os nomes e . Não invente outros nomes de variáveis!
Dica: Descubra quais pontos pontos são levados em e , e faça um esboço da nova região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um trapézio com vértices nos pontos , , e . O conteúdo aqui envolve Transformações Lineares e Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar construir uma parametrização que seja uma transformação linear, que mapeie o vetor para e para . Depois, vamos usar essa parametrização para preencher a igualdade da integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores e .
Para :
Para :
Passo 3
Agora, queremos uma transformação linear que transforma no vetor e no vetor .
Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Os vetores e serão as colunas dessa matriz.
Então, a matriz de será:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos escrever a parametrização explicitamente:
Aqui, e são as variáveis de parametrização que variam de acordo com os limites do novo domínio após a transformação.
Passo 5
Agora, precisamos preencher a igualdade da integral dupla usando essa parametrização. A igualdade é:
onde é a matriz jacobiana da transformação , e é o valor absoluto do determinante dessa matriz.
Passo 6
Vamos calcular o determinante da matriz jacobiana :
Então, .
Passo 7
Agora, substituímos tudo na igualdade da integral dupla:
Aqui, os limites de integração , , e dependem da região transformada, que é o trapézio. Para completar, seria necessário determinar esses limites com base na geometria do trapézio original e da transformação aplicada.