Seja R a região correspondente ao trapézio de vértices A= (3,-1), B=(6,-3), C=(6,0) e D=(15,0). Construa uma parametrização
p: R^2 R^2
que seja uma transformação transformação linear, que leve (1,0) em A B e (0,1) em A C. Utilize essa parametrização p para preencher a igualdade
integral duplaR f(x, y) d A=integrala^b integralh(s)^g(s) square d p d s
Atenção: Você precisa usar variáveis com os nomes s e p. Não invente outros nomes de variáveis!
Dica: Descubra quais pontos pontos são levados em A, B, C e D, e faça um esboço da nova região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um trapézio com vértices nos pontos , , e . O conteúdo aqui envolve Transformações Lineares e Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar construir uma parametrização que seja uma transformação linear, que mapeie o vetor para e para . Depois, vamos usar essa parametrização para preencher a igualdade da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (6 - 3, -3 - (-1)) = (3, -2) e AC = C - A = (6 - 3, 0 - (-1)) = (3, 1) .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, queremos uma transformação linear p = 3 & 3 -2 & 1 que transforma p(s, p) = s cdot AB + p cdot AC = s cdot (3, -2) + p cdot (3, 1) no vetor e no vetor .
Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Os vetores e serão as colunas dessa matriz.
Então, a matriz de será:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos escrever a parametrização explicitamente:
p(s, p) = (3s + 3p, -2s + p)
Aqui, e são as variáveis de parametrização que variam de acordo com os limites do novo domínio após a transformação.

Passo 5

Agora, precisamos preencher a igualdade da integral dupla usando essa parametrização. A igualdade é:
integral duplaR f(x, y) , dA = integrala^b integralh(s)^g(s) f(p(s, p)) cdot |det(J)| , dp , ds
onde é a matriz jacobiana da transformação , e é o valor absoluto do determinante dessa matriz.

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz jacobiana J = partial xpartial s & partial xpartial p partial ypartial s & partial ypartial p = 3 & 3 -2 & 1 :
det(J) = (3)(1) - (3)(-2) = 3 + 6 = 9
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos tudo na igualdade da integral dupla:
integral duplaR f(x, y) , dA = integrala^b integralh(s)^g(s) f(3s + 3p, -2s + p) cdot 9 , dp , ds
Aqui, os limites de integração , , e dependem da região transformada, que é o trapézio. Para completar, seria necessário determinar esses limites com base na geometria do trapézio original e da transformação aplicada.

Resposta

A parametrização p(s, p) = (3s + 3p, -2s + p) é dada por:
integral duplaR f(x, y) , dA = integrala^b integralh(s)^g(s) f(3s + 3p, -2s + p) cdot 9 , dp , ds
E a igualdade da integral dupla fica:

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