O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função C(x) = x^2 - 86x + 2500 , onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas.
Faça o estudo do sinal da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função de custo diária, dada por , onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades produzidas. O conteúdo aqui é de funções quadráticas e estudo de sinais. Para resolver, vamos analisar onde essa função é positiva, negativa ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geral de uma função quadrática: . O gráfico dela é uma parábola. Se a for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo. No nosso caso, , então abre para cima.

Passo 3

Para estudar o sinal da função, precisamos encontrar suas raízes, ou seja, os valores de x que fazem . Essas raízes dividem o eixo x em intervalos onde a função pode ser positiva ou negativa.

Passo 4

Vamos achar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 5

Calculando o discriminante:
Como Delta é negativo, não existem raízes reais. Isso significa que a parábola não corta o eixo x.

Passo 6

Como a parábola abre para cima e não corta o eixo x, o valor mínimo da função C(x) é dado pelo vértice. Mas, como não há raízes reais, a função C(x) é sempre positiva para todo valor de x.

Passo 7

Portanto, a função é maior que zero para qualquer número real de unidades produzidas.

Resposta

A função de custo é sempre positiva para qualquer valor de x, ou seja, para todo x em R.

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