O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função
2500 , onde
é o custo em dólares e
é o número de unidades fabricadas.
Faça o estudo do sinal da função
Faça o estudo do sinal da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função de custo diária, dada por
, onde
é o custo em dólares e
é o número de unidades produzidas. O conteúdo aqui é de funções quadráticas e estudo de sinais. Para resolver, vamos analisar onde essa função é positiva, negativa ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral de uma função quadrática:
. O gráfico dela é uma parábola. Se
for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo. No nosso caso,
, então abre para cima.
Passo 3
Para estudar o sinal da função, precisamos encontrar suas raízes, ou seja, os valores de
que fazem
. Essas raízes dividem o eixo
em intervalos onde a função pode ser positiva ou negativa.
Passo 4
Vamos achar as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Passo 5
Calculando o discriminante:
Como
é negativo, não existem raízes reais. Isso significa que a parábola não corta o eixo
.
Passo 6
Como a parábola abre para cima e não corta o eixo
, o valor mínimo da função
é dado pelo vértice. Mas, como não há raízes reais, a função
é sempre positiva para todo valor de
.
Passo 7
Portanto, a função
é maior que zero para qualquer número real de unidades produzidas.
Resposta
A função de custo
é sempre positiva para qualquer valor de
, ou seja,
para todo
.