O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função C(x) = x^2 - 86x + 2500 , onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de custo diário de produção: , onde é o custo em dólares e é o número de unidades fabricadas. A missão aqui é descobrir em quais intervalos essa função está crescendo e decrescendo. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais precisamente a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função . A derivada nos mostra como a função está mudando em cada ponto, ou seja, se está aumentando ou diminuindo. Então, vamos derivar :
Calculando cada termo:
Então,

Passo 3

Agora, para encontrar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, precisamos achar onde a derivada é igual a zero:
Resolvendo para :
Esse valor de é nosso ponto crítico.

Passo 4

Vamos analisar os intervalos em torno do ponto crítico para ver onde a função está crescendo ou decrescendo.
  1. Intervalo :
    Vamos escolher um valor, por exemplo, :
    Como , a função está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Vamos escolher :
    Como , a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está decrescendo no intervalo e crescendo no intervalo .

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