O custo marginal da produção de q unidades de certo produto é de f(q) = 3*q^2 - 60*raiz(q) + 400 unidades. Se o custo das duas primeiras unidades foi de R$ 694,86, qual será o custo total das primeiras sete unidades?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre custo marginal, que é o custo de produzir uma unidade adicional de um produto. A função dada é , e sabemos que o custo das duas primeiras unidades foi de R$ 694,86. Nosso objetivo é descobrir qual será o custo total das primeiras sete unidades. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, que nos ajuda a encontrar o custo total a partir do custo marginal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é custo marginal. Ele representa a taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida. Matemáticamente, o custo marginal é a derivada do custo total :
Para encontrar o custo total , precisamos integrar a função de custo marginal.

Passo 3

Vamos integrar a função para encontrar :
Vamos resolver cada termo da integral separadamente.

Passo 4

Integrando cada termo:
Então, a integral completa fica:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar a constante , usamos a informação de que o custo das duas primeiras unidades foi de R$ 694,86. Ou seja, quando , .
Vamos substituir na equação:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Assim, .

Passo 6

Agora que temos a constante , podemos escrever a função do custo total:

Passo 7

Para encontrar o custo total das primeiras sete unidades, substituímos na função :
Calculando passo a passo:
Substituindo:

Resposta

O custo total das primeiras sete unidades é de aproximadamente R$ 3.402,19.

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