O custo marginal da produção de
unidades de certo produto é de
unidades. Se o custo das duas primeiras unidades foi de R$ 694,86, qual será o custo total das primeiras sete unidades?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre custo marginal, que é o custo de produzir uma unidade adicional de um produto. A função dada é
, e sabemos que o custo das duas primeiras unidades foi de R$ 694,86. Nosso objetivo é descobrir qual será o custo total das primeiras sete unidades. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, que nos ajuda a encontrar o custo total a partir do custo marginal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é custo marginal. Ele representa a taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida. Matemáticamente, o custo marginal
é a derivada do custo total
:
Para encontrar o custo total
, precisamos integrar a função de custo marginal.
Passo 3
Vamos integrar a função
para encontrar
:
Vamos resolver cada termo da integral separadamente.
Passo 4
Integrando cada termo:
Então, a integral completa fica:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Para encontrar a constante
, usamos a informação de que o custo das duas primeiras unidades foi de R$ 694,86. Ou seja, quando
,
.
Vamos substituir na equação:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Assim,
.
Passo 6
Agora que temos a constante
, podemos escrever a função do custo total:
Passo 7
Para encontrar o custo total das primeiras sete unidades, substituímos
na função
:
Calculando passo a passo:
Substituindo:
Resposta
O custo total das primeiras sete unidades é de aproximadamente R$ 3.402,19.