O custo de produção de uma unidade de um certo modelo de aparelho depende do número de aparelhos produzidos e é dado, em reais por c(n) = (500 n + 600) / (4 n). Suponha que a produção tende a aumentar significativamente. Existe algum custo mínimo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função que descreve o custo de produzir uma unidade de um aparelho, que depende de quantos aparelhos a gente tá produzindo. A função é dada por:
O negócio é ver se, conforme a produção aumenta bastante, existe um custo mínimo. Ou seja, queremos descobrir se tem um ponto onde o custo por unidade atinge o menor valor possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Isso pode ser simplificado dividindo cada termo do numerador por :
Então, a função ficou:
Isso mostra que o custo por unidade é composto por uma parte fixa (125 reais) e uma parte que diminui conforme aumenta a produção ( ).

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando tende a aumentar bastante, ou seja, vai para o infinito. O que acontece com cada termo da função nesse caso?
  • O termo constante permanece o mesmo.
  • O termo tende a zero, porque estamos dividindo 150 por um número cada vez maior.
Então, matematicamente:

Passo 4

Esse limite nos mostra que, conforme a produção aumenta muito, o custo por unidade se aproxima de 125 reais. Ou seja, quanto mais a gente produz, mais o custo por unidade fica perto desse valor.

Passo 5

Para confirmar se 125 é realmente o custo mínimo, podemos verificar a derivada da função e encontrar se existe um ponto onde a derivada é zero, indicando um mínimo.
Vamos derivar :
A derivada é sempre negativa para , o que indica que a função está sempre diminuindo conforme aumenta. Isso confirma que o menor valor que pode alcançar é o limite que calculamos, ou seja, 125 reais.

Resposta

Sim, existe um custo mínimo de R$ 125 por unidade quando a produção aumenta significativamente.

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