O custo de produção de uma unidade de um certo modelo de aparelho depende do número de aparelhos produzidos e é dado, em reais por
. Suponha que a produção tende a aumentar significativamente. Existe algum custo mínimo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função que descreve o custo de produzir uma unidade de um aparelho, que depende de quantos aparelhos a gente tá produzindo. A função é dada por:
O negócio é ver se, conforme a produção aumenta bastante, existe um custo mínimo. Ou seja, queremos descobrir se tem um ponto onde o custo por unidade atinge o menor valor possível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Isso pode ser simplificado dividindo cada termo do numerador por
:
Então, a função ficou:
Isso mostra que o custo por unidade é composto por uma parte fixa (125 reais) e uma parte que diminui conforme aumenta a produção (
).
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
tende a aumentar bastante, ou seja,
vai para o infinito. O que acontece com cada termo da função nesse caso?
- O termo constante
permanece o mesmo. - O termo
tende a zero, porque estamos dividindo 150 por um número cada vez maior.
Então, matematicamente:
Passo 4
Esse limite nos mostra que, conforme a produção aumenta muito, o custo por unidade se aproxima de 125 reais. Ou seja, quanto mais a gente produz, mais o custo por unidade fica perto desse valor.
Passo 5
Para confirmar se 125 é realmente o custo mínimo, podemos verificar a derivada da função
e encontrar se existe um ponto onde a derivada é zero, indicando um mínimo.
Vamos derivar
:
A derivada é sempre negativa para
, o que indica que a função está sempre diminuindo conforme
aumenta. Isso confirma que o menor valor que
pode alcançar é o limite que calculamos, ou seja, 125 reais.
Resposta
Sim, existe um custo mínimo de R$ 125 por unidade quando a produção aumenta significativamente.
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e
, considerando
como função de
e também
como função de
.
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