Calcule as derivadas d/y d/x e dx/dy, considerando y como função de x e também x como função de y. 2y + sen(y) = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas e , considerando que y é função de x e que x também é função de y, dado a equação . Vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando temos y definido de forma implícita por uma equação envolvendo x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que quando diferenciamos termos que envolvem y, precisamos usar a regra da cadeia, já que y é função de x.
Diferenciando:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Podemos fatorar dos dois primeiros termos:
Então, dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Para isso, vamos considerar x como função de y e diferenciar a equação em relação a y:
Isso dá:

Resposta

As derivadas são:
e

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