O custo para produzir x unidades de um certo produto é reais e o número de unidades produzidas tem thoras de trabalho é unidades. Qual é a taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  1. Custo em função da quantidade produzida: reais.
  2. Quantidade produzida em função do tempo de trabalho: unidades.
Queremos descobrir como o custo está mudando ao longo do tempo depois de 4 horas de trabalho. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar essa taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a taxa de variação do custo em relação ao tempo, ou seja, . Isso indica o quão rápido o custo está aumentando ou diminuindo a cada unidade de tempo, neste caso, a cada hora.

Passo 3

Sabemos que o custo depende da quantidade , que por sua vez depende do tempo . Para relacionar tudo isso, usamos a regra da cadeia no cálculo, que nos permite encontrar multiplicando por .
Matematicamente:

Passo 4

Vamos calcular , que é a derivada do custo em relação à quantidade produzida.
A função do custo é:
Derivando em relação a :
Isso nos diz como o custo muda quando a quantidade produzida muda.

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a derivada da quantidade produzida em relação ao tempo.
A função da quantidade é:
Derivando em relação a :
Isso nos mostra como a quantidade produzida muda no tempo.

Passo 6

Agora, podemos combinar essas duas derivadas para encontrar :

Passo 7

Queremos saber essa taxa de variação depois de 4 horas de trabalho, ou seja, quando .
Primeiro, encontramos a quantidade produzida nesse tempo:

Passo 8

Agora, substituímos na derivada :

Passo 9

Também substituímos na derivada :

Passo 10

Finalmente, multiplicamos as duas derivadas para encontrar :

Resposta

A taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho é aproximadamente R$10,13 por hora.

Exercícios relacionados

Estima-se que a população de uma certa cidade será daqui a anos.
A que taxa a população está variando com o tempo daqui a 10 anos?
Uma pedra cai de uma altura de 170 m em direção ao solo. Em segundos, a distância percorrida pela pedra é de .
Qual é a velocidade média da pedra durante a queda?
Uma pedra cai de uma altura de 170 m em direção ao solo. Em segundos, a distância percorrida pela pedra é de .
Quantos segundos após o início da queda a pedra atinge o solo?
Alô CAIXA: 40040104 (Capitais e Regiões Metropolitanas)
Alô CAIXA: 08001040104 (Demais regiões)
Pessoas com deficiência auditiva: 08007262492
SAC CAIXA: 08007260101
Ouvidoria: 08007257474