O custo para produzir x unidades de um certo produto é
reais e o número de unidades produzidas tem thoras de trabalho é
unidades. Qual é a taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
- Custo em função da quantidade produzida:
reais. - Quantidade produzida em função do tempo de trabalho:
unidades.
Queremos descobrir como o custo está mudando ao longo do tempo depois de 4 horas de trabalho. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar essa taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a taxa de variação do custo em relação ao tempo, ou seja,
. Isso indica o quão rápido o custo está aumentando ou diminuindo a cada unidade de tempo, neste caso, a cada hora.
Passo 3
Sabemos que o custo
depende da quantidade
, que por sua vez depende do tempo
. Para relacionar tudo isso, usamos a regra da cadeia no cálculo, que nos permite encontrar
multiplicando
por
.
Matematicamente:
Passo 4
Vamos calcular
, que é a derivada do custo em relação à quantidade produzida.
A função do custo é:
Derivando em relação a
:
Isso nos diz como o custo muda quando a quantidade produzida muda.
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a derivada da quantidade produzida em relação ao tempo.
A função da quantidade é:
Derivando em relação a
:
Isso nos mostra como a quantidade produzida muda no tempo.
Passo 6
Agora, podemos combinar essas duas derivadas para encontrar
:
Passo 7
Queremos saber essa taxa de variação depois de 4 horas de trabalho, ou seja, quando
.
Primeiro, encontramos a quantidade produzida nesse tempo:
Passo 8
Agora, substituímos
na derivada
:
Passo 9
Também substituímos
na derivada
:
Passo 10
Finalmente, multiplicamos as duas derivadas para encontrar
:
Resposta
A taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho é aproximadamente R$10,13 por hora.
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