Estima-se que a população de uma certa cidade será
daqui a
anos.
A que taxa a população está variando com o tempo daqui a 10 anos?
A que taxa a população está variando com o tempo daqui a 10 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a população de uma cidade daqui a
anos é dada por
. O conteúdo aqui envolve funções e derivadas, que são ferramentas da matemática para entender como as coisas mudam. Para achar a taxa de variação da população daqui a 10 anos, vamos precisar calcular a derivada dessa função em relação ao tempo
e depois avaliar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em um ponto específico. Então, vamos derivar
em relação a
.
A função é:
A derivada de
é:
Passo 3
Vamos calcular cada termo da derivada:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
(uma constante) é .
Então, a derivada completa fica:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a taxa de variação da população, vamos avaliar essa derivada em
anos para encontrar a taxa específica nesse momento.
Substituindo
na derivada:
Resposta
A taxa de variação da população daqui a 10 anos é de
habitantes por ano.