Estima-se que a população de uma certa cidade será P(t) = t^2 + 200 t + 10000 daqui a t anos.
A que taxa a população está variando com o tempo daqui a 10 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a população de uma cidade daqui a anos é dada por . O conteúdo aqui envolve funções e derivadas, que são ferramentas da matemática para entender como as coisas mudam. Para achar a taxa de variação da população daqui a 10 anos, vamos precisar calcular a derivada dessa função em relação ao tempo e depois avaliar em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em um ponto específico. Então, vamos derivar em relação a .
A função é:
A derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular cada termo da derivada:
  1. A derivada de é .
  2. A derivada de é .
  3. A derivada de (uma constante) é .
Então, a derivada completa fica:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a taxa de variação da população, vamos avaliar essa derivada em anos para encontrar a taxa específica nesse momento.
Substituindo na derivada:

Resposta

A taxa de variação da população daqui a 10 anos é de habitantes por ano.

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