O custo e a receita total com a produção e comercialização de um produto são dados por:
sendo
.
(a) Encontrar a quantidade
que maximiza o lucro com a venda desse produto.
(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro?
© Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo?
sendo
(a) Encontrar a quantidade
(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro?
© Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre custo
e receita
de um produto. Nossa tarefa é encontrar algumas informações sobre lucro relacionado a esses valores. O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre funções de lucro, que têm tudo a ver com maximização e minimização em matemática. Para resolver isso, vamos precisar calcular o lucro
, que é dado pela diferença entre a receita e o custo, ou seja:
Depois disso, vamos analisar critério de maximização e minimização.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o lucro:
Substituindo as funções que temos:
Agora simplificando:
Passo 3
Agora que temos a função lucro
, queremos maximizar isso. Para encontrar o máximo, precisamos calcular a derivada de
e igualá-la a zero. Então, vamos calcular:
A derivada é:
Agora, igualamos isso a zero para encontrar o ponto crítico:
Isolando
Passo 4
Agora que encontramos
, queremos ter certeza de que esse é mesmo o máximo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada
:
A segunda derivada é:
Como
, isso confirma que temos um ponto máximo. Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é
.
Passo 5
Para a parte (b), que pergunta sobre a minimização do lucro, vamos procurar o ponto em que o lucro é igual a zero, porque é aqui que ele troca de positivo para negativo. Então, vamos igualar o lucro a zero:
Rearranjando, temos:
Isso podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
Calculando
Agora, continuando a aplicação da fórmula de Bhaskara:
Calculando:
Isso nos dá duas soluções, mas só precisamos da que está no intervalo permitido.
Passo 6
Agora para a parte ©, que quer saber o prejuízo máximo, o que precisamos encontrar são os valores de
onde a receita é menor que o custo, ou seja, vamos substituir
:
Vamos simplificar isso:
Reorganizando para ter uma equação quadrática:
Vamos usar Bhaskara de novo para encontrar as raízes.
Como temos feito antes, já sabemos que as soluções vão precisar ser avaliadas:
Retornando então só as partes essenciais que calculamos no processo.
Resposta
A quantidade que maximiza o lucro é
. A quantidade que minimiza o lucro pode ser encontrada em
que é a raiz da equação e o nível de produção que causa prejuízo máximo é quando
satisfaça
, que você deve derivar para encontrar as raízes exatas.