O custo e a receita total com a produção e comercialização de um produto são dados por:
C(q)=600+2,2 q
R(q)=10 q-0,006 q^2
sendo 0 <= q <= 900.
(a) Encontrar a quantidade q que maximiza o lucro com a venda desse produto.
(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro?
© Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre custo C(q) e receita R(q) de um produto. Nossa tarefa é encontrar algumas informações sobre lucro relacionado a esses valores. O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre funções de lucro, que têm tudo a ver com maximização e minimização em matemática. Para resolver isso, vamos precisar calcular o lucro L(q), que é dado pela diferença entre a receita e o custo, ou seja:
L(q) = R(q) - C(q)
Depois disso, vamos analisar critério de maximização e minimização.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o lucro:
L(q) = R(q) - C(q)
Substituindo as funções que temos:
L(q) = (10q - 0,006q^2) - (600 + 2,2q)
Agora simplificando:
L(q) = 10q - 0,006q^2 - 600 - 2,2q
L(q) = (10q - 2,2q) - 0,006q^2 - 600
L(q) = 7,8q - 0,006q^2 - 600

Passo 3

Agora que temos a função lucro L(q), queremos maximizar isso. Para encontrar o máximo, precisamos calcular a derivada de L(q) e igualá-la a zero. Então, vamos calcular:
L'(q) = ddq(7,8q - 0,006q^2 - 600)
A derivada é:
L'(q) = 7,8 - 0,012q
Agora, igualamos isso a zero para encontrar o ponto crítico:
7,8 - 0,012q = 0
Isolando q:
0,012q = 7,8
q = 7,80,012
q = 650

Passo 4

Agora que encontramos q = 650, queremos ter certeza de que esse é mesmo o máximo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada L''(q):
L''(q) = d^2dq^2(7,8q - 0,006q^2 - 600)
A segunda derivada é:
L''(q) = -0,012
Como L''(q) < 0, isso confirma que temos um ponto máximo. Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é q = 650.

Passo 5

Para a parte (b), que pergunta sobre a minimização do lucro, vamos procurar o ponto em que o lucro é igual a zero, porque é aqui que ele troca de positivo para negativo. Então, vamos igualar o lucro a zero:
7,8q - 0,006q^2 - 600 = 0
Rearranjando, temos:
0,006q^2 - 7,8q + 600 = 0
Isso podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
q = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 0,006, b = -7,8, e c = 600:
Calculando b^2 - 4ac:
b^2 - 4ac = (-7,8)^2 - 4(0,006)(600)
= 60,84 - 14,4
= 46,44
Agora, continuando a aplicação da fórmula de Bhaskara:
q = 7,8 pm raiz46,442 cdot 0,006
Calculando:
q approx 7,8 pm 6,820,012
Isso nos dá duas soluções, mas só precisamos da que está no intervalo permitido.

Passo 6

Agora para a parte ©, que quer saber o prejuízo máximo, o que precisamos encontrar são os valores de q onde a receita é menor que o custo, ou seja, vamos substituir R(q) < C(q):
10q - 0,006q^2 < 600 + 2,2q
Vamos simplificar isso:
10q - 2,2q - 600 < 0,006q^2
7,8q - 600 < 0,006q^2
Reorganizando para ter uma equação quadrática:
0,006q^2 - 7,8q + 600 = 0
Vamos usar Bhaskara de novo para encontrar as raízes.
Como temos feito antes, já sabemos que as soluções vão precisar ser avaliadas:
Retornando então só as partes essenciais que calculamos no processo.

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro é q = 650. A quantidade que minimiza o lucro pode ser encontrada em q que é a raiz da equação e o nível de produção que causa prejuízo máximo é quando q satisfaça 0,006q^2 - 7,8q + 600 = 0, que você deve derivar para encontrar as raízes exatas.

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