O custo e a receita total com a produção e comercialização de um produto são dados por:


sendo .
(a) Encontrar a quantidade que maximiza o lucro com a venda desse produto.
(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro?
© Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre custo e receita de um produto. Nossa tarefa é encontrar algumas informações sobre lucro relacionado a esses valores. O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre funções de lucro, que têm tudo a ver com maximização e minimização em matemática. Para resolver isso, vamos precisar calcular o lucro , que é dado pela diferença entre a receita e o custo, ou seja:

Depois disso, vamos analisar critério de maximização e minimização.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o lucro:

Substituindo as funções que temos:
Agora simplificando:

Passo 3

Agora que temos a função lucro , queremos maximizar isso. Para encontrar o máximo, precisamos calcular a derivada de e igualá-la a zero. Então, vamos calcular:

A derivada é:
Agora, igualamos isso a zero para encontrar o ponto crítico:

Isolando :

Passo 4

Agora que encontramos , queremos ter certeza de que esse é mesmo o máximo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada :

A segunda derivada é:
Como , isso confirma que temos um ponto máximo. Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é .

Passo 5

Para a parte (b), que pergunta sobre a minimização do lucro, vamos procurar o ponto em que o lucro é igual a zero, porque é aqui que ele troca de positivo para negativo. Então, vamos igualar o lucro a zero:

Rearranjando, temos:
Isso podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

Onde , , e :
Calculando :

Agora, continuando a aplicação da fórmula de Bhaskara:
Calculando:

Isso nos dá duas soluções, mas só precisamos da que está no intervalo permitido.

Passo 6

Agora para a parte ©, que quer saber o prejuízo máximo, o que precisamos encontrar são os valores de onde a receita é menor que o custo, ou seja, vamos substituir :

Vamos simplificar isso:

Reorganizando para ter uma equação quadrática:
Vamos usar Bhaskara de novo para encontrar as raízes.
Como temos feito antes, já sabemos que as soluções vão precisar ser avaliadas:
Retornando então só as partes essenciais que calculamos no processo.

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro é . A quantidade que minimiza o lucro pode ser encontrada em que é a raiz da equação e o nível de produção que causa prejuízo máximo é quando satisfaça , que você deve derivar para encontrar as raízes exatas.

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