PROVA-FÍSICA GERAL II - HERONDY- 2024.1
LQQustã: Uma casca ssférica, unifforme, de massa igual a 1.000 kg porsaui raio de 5 m . Calcule a foresa gravitacional que sessa casca seerce sobre uma massa pontual de 2,0 kg colocada mas reguintes distâncias do centro da casca: (i) 5,01 m i (ii) 4,99 m; (iii) 2,72 m. Em cada caso, explique e use s trorema das casras. Dado constante gravitacional: G=6,17 times 10^-4 N cdot m^2 / kg^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca esférica uniforme com massa de 1.000 kg e raio de 5 metros. Precisamos encontrar a força gravitacional que essa casca exerce sobre uma massa pontual de 2,0 kg quando ela está a diferentes distâncias do centro da casca: 5,01 m; 4,99 m; e 2,72 m. Para isso, vamos usar o Teorema da Casca Esférica, que nos ajuda a calcular forças gravitacionais de objetos com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema da Casca Esférica. Esse teorema diz que:
  • Fora da casca (distância maior que o raio): A força gravitacional é como se toda a massa da casca estivesse concentrada no centro.
  • Dentro da casca (distância menor que o raio): A força gravitacional é zero.
    Isso facilita bastante nossos cálculos, porque decide se a força existe ou não e como calculá-la.

Passo 3

Caso (i): A massa pontual está a 5,01 metros do centro da casca.
  • Análise: 5,01 m > 5 m (raio da casca). Portanto, estamos fora da casca.
  • Cálculo: Usamos a fórmula da força gravitacional: F = G M mr^2 Onde:
    • F = 6,17 times 10^-4 times 1.000 times 2,0(5,01)^2
    • F = 6,17 times 10^-4 times 2.00025,1001 approx 6,17 times 10^-4 times 79,68 approx 0,0492 , N
  • Substituindo os valores:

Passo 4

Caso (ii): A massa pontual está a 4,99 metros do centro da casca.
  • Análise: 4,99 m < 5 m. Portanto, estamos dentro da casca.
  • Cálculo: Segundo o Teorema da Casca Esférica, a força gravitacional dentro da casca é zero. F = 0 , N

Passo 5

Caso (iii): A massa pontual está a 2,72 metros do centro da casca.
  • Análise: 2,72 m < 5 m. Novamente, estamos dentro da casca.
  • Cálculo: Mais uma vez, conforme o teorema, a força gravitacional é zero. F = 0 , N

Resposta

A força gravitacional exercida pela casca esférica sobre a massa pontual de 2,0 kg é:
  • (i) 0,0492 N quando a massa está a 5,01 m do centro.
  • (ii) 0 N quando a massa está a 4,99 m do centro.
  • (iii) 0 N quando a massa está a 2,72 m do centro.

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