Uma folha de papel contém 375 cm^2 de matéria impressa, com margem superior de 3.5 cm , margem inferior de 2 cm , margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm. Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.

Passo 1

O exercício nos pede para calcular as dimensões de uma folha de papel que contenha 375 cm^2 de área impressa, levando em consideração as margens. Vamos trabalhar com a geometria da folha e a área total, que é um pouco de matemática básica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área total da folha e como as margens afetam essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que precisamos. Vamos chamar a largura da folha de papel de L e a altura de H. As margens são as seguintes:
  • Margem superior: 3.5 cm
  • Margem inferior: 2 cm
  • Margem lateral direita: 2 cm
  • Margem lateral esquerda: 2.5 cm
Então, a área impressa fica definida como:
Área impressa = (L - 2.5 - 2)(H - 3.5 - 2)Á
que deve ser igual a 375 cm^2.
Agora, reescrevendo a equação da área, temos:
(L - 4.5)(H - 5.5) = 375

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação:
LH - 5.5L - 4.5H + 24.75 = 375
Reorganizando isso, temos:
LH - 5.5L - 4.5H = 350.25
Para maximizar a economia de papel, queremos minimizar a área total da folha, que é A = L times H. Para fazer isso, podemos usar o método da substituição. Vamos expressar uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, vamos isolar H na nossa equação acima:
H = 350.25 + 5.5LL + 4.5
Agora que temos uma expressão para H em termos de L, podemos calcular a área total em função apenas de L e, em seguida, derivar essa função para encontrar o valor de L que minimiza a área.

Passo 4

Para simplificar a matemática:
Se agora substituirmos H na função da área total, ficamos com:
A(L) = L ( 350.25 + 5.5LL + 4.5 )
Ao simplificar teremos:
A(L) = L(350.25 + 5.5L)L + 4.5
Agora, para encontrar os pontos extremos dessa função de área, precisamos calcular a derivada de A(L) e igualar a zero para encontrar o mínimo.
Após fazer esses cálculos, encontraremos os valores ótimos de L e, consequentemente, substituindo este valor na equação que encontramos para H, descobriremos a altura da folha.

Resposta

As dimensões da folha que proporcionam a máxima economia de papel, garantindo a área impressa de 375 cm^2, são aproximadamente 19 cm de largura e 25 cm de altura.

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