Uma folha de papel contém de matéria impressa, com margem superior de 3.5 cm , margem inferior de 2 cm , margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de . Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.

Passo 1

O exercício nos pede para calcular as dimensões de uma folha de papel que contenha de área impressa, levando em consideração as margens. Vamos trabalhar com a geometria da folha e a área total, que é um pouco de matemática básica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área total da folha e como as margens afetam essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que precisamos. Vamos chamar a largura da folha de papel de e a altura de . As margens são as seguintes:
  • Margem superior:
  • Margem inferior:
  • Margem lateral direita:
  • Margem lateral esquerda:
Então, a área impressa fica definida como:
Á
que deve ser igual a .
Agora, reescrevendo a equação da área, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação:
Reorganizando isso, temos:
Para maximizar a economia de papel, queremos minimizar a área total da folha, que é . Para fazer isso, podemos usar o método da substituição. Vamos expressar uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, vamos isolar na nossa equação acima:
Agora que temos uma expressão para em termos de , podemos calcular a área total em função apenas de e, em seguida, derivar essa função para encontrar o valor de que minimiza a área.

Passo 4

Para simplificar a matemática:
Se agora substituirmos na função da área total, ficamos com:

Ao simplificar teremos:
Agora, para encontrar os pontos extremos dessa função de área, precisamos calcular a derivada de e igualar a zero para encontrar o mínimo.
Após fazer esses cálculos, encontraremos os valores ótimos de e, consequentemente, substituindo este valor na equação que encontramos para , descobriremos a altura da folha.

Resposta

As dimensões da folha que proporcionam a máxima economia de papel, garantindo a área impressa de , são aproximadamente de largura e de altura.

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