Uma folha de papel contém
de matéria impressa, com margem superior de 3.5 cm , margem inferior de 2 cm , margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de
. Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.
Passo 1
O exercício nos pede para calcular as dimensões de uma folha de papel que contenha
de área impressa, levando em consideração as margens. Vamos trabalhar com a geometria da folha e a área total, que é um pouco de matemática básica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área total da folha e como as margens afetam essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que precisamos. Vamos chamar a largura da folha de papel de
e a altura de
. As margens são as seguintes:
- Margem superior:
- Margem inferior:
- Margem lateral direita:
- Margem lateral esquerda:
Então, a área impressa fica definida como:
que deve ser igual a
Agora, reescrevendo a equação da área, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir essa equação:
Reorganizando isso, temos:
Para maximizar a economia de papel, queremos minimizar a área total da folha, que é
. Para fazer isso, podemos usar o método da substituição. Vamos expressar uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, vamos isolar
na nossa equação acima:
Agora que temos uma expressão para
em termos de
, podemos calcular a área total em função apenas de
e, em seguida, derivar essa função para encontrar o valor de
que minimiza a área.
Passo 4
Para simplificar a matemática:
Se agora substituirmos na função da área total, ficamos com:
Se agora substituirmos
Ao simplificar teremos:
Agora, para encontrar os pontos extremos dessa função de área, precisamos calcular a derivada de
e igualar a zero para encontrar o mínimo.
Após fazer esses cálculos, encontraremos os valores ótimos de
e, consequentemente, substituindo este valor na equação que encontramos para
, descobriremos a altura da folha.
Resposta
As dimensões da folha que proporcionam a máxima economia de papel, garantindo a área impressa de
, são aproximadamente
de largura e
de altura.
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