O custo total da fabricação de determinado artigo depende do custo de produção, que é de R$ 45,00 por unidade fabricada, mais um custo fixo de R$ 2 000,00. Pede-se:
a) A função que representa o custo total em relação a quantidade fabricada.
b) O custo total de fabricação de 10 unidades.
c) O número de unidades que deverão ser fabricadas para que o custo total seja de R$ 3 800,00.
d) O gráfico da função custo total, destacando os dados obtidos nos itens anteriores.
a) A função que representa o custo total em relação a quantidade fabricada.
b) O custo total de fabricação de 10 unidades.
c) O número de unidades que deverão ser fabricadas para que o custo total seja de R$ 3 800,00.
d) O gráfico da função custo total, destacando os dados obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde o custo total para fabricar um artigo depende de dois fatores: um custo fixo e um custo por unidade produzida. Vamos usar conceitos de funções lineares para modelar esse problema. Precisaremos entender como criar uma função que representa o custo total baseado na quantidade fabricada e depois usar essa função para responder às perguntas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes do custo total:
- Custo fixo: é o valor que não muda, independente da quantidade fabricada. Aqui, é R$ 2.000,00.
- Custo variável: é o custo que varia com a quantidade fabricada. Cada unidade custa R$ 45,00 para produzir.
A função que representa o custo total (
) em relação à quantidade fabricada (
) é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total para fabricar 10 unidades. Usamos a função que encontramos:
Primeiro, multiplica 45 por 10:
Então, soma com o custo fixo:
Portanto, o custo total para fabricar 10 unidades é de R$ 2.450,00.
Passo 4
Vamos descobrir quantas unidades precisam ser fabricadas para que o custo total seja de R$ 3.800,00. Usamos a função novamente e substituímos
por 3800:
Primeiro, subtrai o custo fixo de ambos os lados:
Agora, divide ambos os lados por 45 para isolar
:
Então, devem ser fabricadas 40 unidades para que o custo total seja de R$ 3.800,00.
Passo 5
Por fim, vamos falar sobre o gráfico da função custo total
. Esse é um gráfico de uma reta, onde:
- O ponto de interceptação no eixo
é o custo fixo, R$ 2.000,00. - A inclinação da reta é o custo por unidade, 45. Isso significa que para cada unidade a mais fabricada, o custo total aumenta em R$ 45,00.
No gráfico, podemos destacar os pontos que encontramos:
- Quando
, . - Quando
, .
Esses pontos mostram como o custo total varia conforme a quantidade fabricada.
Resposta
a) A função que representa o custo total é
.
b) O custo total de fabricação de 10 unidades é R$ 2.450,00.
c) Devem ser fabricadas 40 unidades para que o custo total seja de R$ 3.800,00.
d) O gráfico da função é uma reta que começa em R$ 2.000,00 no eixo
e sobe com uma inclinação de 45, passando pelos pontos (10, 2450) e (40, 3800).