(d) Demonstre que o Hamiltoniano
comuta com os três componentes de L, sendo que
depende somente de
. (De modo que
e
, são observáveis mutuamente compatíveis.)
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para demonstrar que o Hamiltoniano $ H = \frac{p^{2}}{2m} + V $ comuta com os três componentes do momento angular $ L $, sendo que a potencial $ V $ depende apenas da posição $ r $. Isso significa que $ H $, $ L^{2} $ e $ L $ são observáveis que podem ser medidas simultaneamente sem interferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois operadores comutam. Dois operadores $ A $ e $ B $ comutam se o comutador
. Se $ H $ comuta com cada componente de $ L $, então eles são compatíveis e podem ser medidos juntas.
Passo 3
O Hamiltoniano dado é $ H = \frac{p^{2}}{2m} + V $, onde $ p $ é o operador momento e $ V $ é a potencial. Como $ V $ depende apenas de $ r $, temos uma potencial central, que é simétrica em relação às rotações.
Passo 4
Agora, vamos considerar os operadores de momento angular $ L_x $, $ L_y $ e $ L_z $. Sabemos que $ L = r \times p $, e cada componente de $ L $ envolve as coordenadas espaciais e os momentos conjugados.
Passo 5
Para mostrar que $ [H, L_i] = 0 $ (onde $ i $ pode ser $ x $, $ y $ ou $ z $), vamos calcular o comutador. Primeiro, separamos $ H $ em duas partes: a energia cinética $ \frac{p^{2}}{2m} $ e a energia potencial $ V $.
Passo 6
A energia cinética $ \frac{p^{2}}{2m} $ comuta com $ L_i $ porque os componentes do momento $ p $ comutam adequadamente com os componentes de $ L $. Isso se deve à propriedade de que $ L $ é relacionado às simetrias rotacionais, e a energia cinética é invariante sob rotações.
Passo 7
Já a energia potencial $ V® $, que depende apenas da distância $ r $, também comuta com $ L_i $. Isso ocorre porque $ V $ é invariante sob rotações (já que depende só de $ r $), então aplicar uma rotação não altera $ V $. Matematicamente, isso significa que $ [V, L_i] = 0 $.
Passo 8
Como tanto $ \frac{p^{2}}{2m} $ quanto $ V $ comutam com cada componente de $ L $, então $ H $ inteiro comuta com cada $ L_i $:
para $ i = x, y, z $.
Passo 9
Por fim, se o Hamiltoniano $ H $ comuta com cada componente de $ L $, também comuta com $ L^{2} $, já que $ L^{2} = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 $ e os componentes de $ L $ comutam entre si.
Resposta
Demonstramos que o Hamiltoniano $ H = \frac{p^{2}}{2m} + V $ comuta com cada componente do momento angular $ L_x $, $ L_y $, $ L_z $ e com $ L^{2} $. Portanto, $ H $, $ L^{2} $ e $ L $ são observáveis mutuamente compatíveis.