Mostre as seguintes expressões :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar as expressões dos operadores de momento angular $ L_x $, $ L_y $, $ L_z $ e do operador total $ L^2 $ em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como os operadores de momento angular se expressam nessas coordenadas e aplicar derivadas parciais em relação aos ângulos $ \theta $ e $ \phi $.
Passo 2
Vamos começar lembrando que, em mecânica quântica, os operadores de momento angular são definidos em termos das derivadas parciais em relação às coordenadas angulares. Em coordenadas esféricas, temos os ângulos $ \theta $ (polar) e $ \phi $ (azimutal). O operador $ L_z $ é o mais simples de se obter:
Isso significa que $ L_z $ opera tomando a derivada em relação ao ângulo $ \phi $, multiplicado por $ \frac{\hbar}{i} $.
Passo 3
Agora, vamos derivar as expressões para $ L_x $ e $ L_y $. Para isso, precisamos usar as relações entre os operadores de momento angular em coordenadas cartesianas e esféricas. Sabemos que:
Onde $ L_+ $ e $ L_- $ são os operadores de subida e descida, respectivamente. Em coordenadas esféricas, esses operadores envolvem derivadas em relação a $ \theta $ e $ \phi $, bem como funções trigonométricas dos ângulos.
Passo 4
Expressando $ L_x $ e $ L_y $ em termos de $ \theta $ e $ \phi $, obtemos:
Aqui, $ \sin $ é o seno e $ \cot $ é a cotangente. Essas expressões vêm da decomposição dos operadores de subida e descida em termos das coordenadas angulares.
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a expressão do operador total de momento angular $ L^2 $. Esse operador representa o quadrado do momento angular total e em coordenadas esféricas é dado por:
Essa expressão envolve a aplicação das derivadas parciais em $ \theta $ e $ \phi $, refletindo como o momento angular total depende das variações nessas direções.
Resposta
As expressões dos operadores de momento angular em coordenadas esféricas são: