Mostre as seguintes expressões :
& Lx=hbari(-sen phi partialpartial theta-cos phi cot theta partialpartial phi) & Ly=hbari(+cos phi partialpartial theta-sen phi cot theta partialpartial phi)
Lz=hbari partialpartial phi
L^2=-hbar^2[1sen theta partialpartial theta(sen theta partialpartial theta)+1sen^2 theta partial^2partial phi^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar as expressões dos operadores de momento angular $ L_x $, $ L_y $, $ L_z $ e do operador total $ L^2 $ em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como os operadores de momento angular se expressam nessas coordenadas e aplicar derivadas parciais em relação aos ângulos $ \theta $ e $ \phi $.

Passo 2

Vamos começar lembrando que, em mecânica quântica, os operadores de momento angular são definidos em termos das derivadas parciais em relação às coordenadas angulares. Em coordenadas esféricas, temos os ângulos $ \theta $ (polar) e $ \phi $ (azimutal). O operador $ L_z $ é o mais simples de se obter:
theta
Isso significa que $ L_z $ opera tomando a derivada em relação ao ângulo $ \phi $, multiplicado por $ \frac{\hbar}{i} $.

Passo 3

Agora, vamos derivar as expressões para $ L_x $ e $ L_y $. Para isso, precisamos usar as relações entre os operadores de momento angular em coordenadas cartesianas e esféricas. Sabemos que:
Lx
Ly
Onde $ L_+ $ e $ L_- $ são os operadores de subida e descida, respectivamente. Em coordenadas esféricas, esses operadores envolvem derivadas em relação a $ \theta $ e $ \phi $, bem como funções trigonométricas dos ângulos.

Passo 4

Expressando $ L_x $ e $ L_y $ em termos de $ \theta $ e $ \phi $, obtemos:
Lx
Ly
Aqui, $ \sin $ é o seno e $ \cot $ é a cotangente. Essas expressões vêm da decomposição dos operadores de subida e descida em termos das coordenadas angulares.

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a expressão do operador total de momento angular $ L^2 $. Esse operador representa o quadrado do momento angular total e em coordenadas esféricas é dado por:
L^2
Essa expressão envolve a aplicação das derivadas parciais em $ \theta $ e $ \phi $, refletindo como o momento angular total depende das variações nessas direções.

Resposta

As expressões dos operadores de momento angular em coordenadas esféricas são:
& Lx=hbari(-sin phi partialpartial theta-cos phi cot theta partialpartial phi) & Ly=hbari(+cos phi partialpartial theta-sin phi cot theta partialpartial phi)
Lz=hbari partialpartial phi
L^2=-hbar^2[1sin theta partialpartial theta(sin theta partialpartial theta)+1sin^2 theta partial^2partial phi^2]

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