© Avalie os comutadores [Lz, r^2] e[Lx^2, p^2] (nos quais, é claro, r^2=x^2+y^2+z^2 e p^2=px^2+py^2+p2^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular os comutadores [Lz, r^2] e [Lx^2, p^2]. Aqui, r^2 é definido como x^2 + y^2 + z^2 e p^2 como px^2 + py^2 + pz^2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente sobre operadores e comutadores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um comutador. O comutador de dois operadores A e B é definido como:
[A, B] = AB - BA
Esse conceito é fundamental na Mecânica Quântica porque nos ajuda a entender como diferentes observáveis se relacionam entre si.

Passo 3

Vamos começar calculando o comutador [Lz, r^2]. Sabemos que o operador de momento angular Lz é dado por:
Lz = x py - y px
E r^2 = x^2 + y^2 + z^2. Nosso objetivo é calcular:
[Lz, r^2] = Lz r^2 - r^2 Lz

Passo 4

Vamos multiplicar Lz por r^2:
Lz r^2 = (x py - y px)(x^2 + y^2 + z^2)
Expandindo essa expressão:
Lz r^2 = x py x^2 + x py y^2 + x py z^2 - y px x^2 - y px y^2 - y px z^2

Passo 5

Agora, vamos multiplicar r^2 por Lz:
r^2 Lz = (x^2 + y^2 + z^2)(x py - y px)
Expandindo essa expressão:
r^2 Lz = x^2 x py + y^2 x py + z^2 x py - x^2 y px - y^2 y px - z^2 y px

Passo 6

Agora, vamos subtrair as duas expressões para encontrar o comutador:
[Lz, r^2] = Lz r^2 - r^2 Lz
Subtraindo termo a termo, percebemos que alguns termos se cancelam, e o que sobra é:
[Lz, r^2] = [x py, y^2] - [y px, x^2]

Passo 7

Vamos calcular cada um desses comutadores separadamente. Primeiro, [x py, y^2]:
Usamos a regra [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]. Sabemos que [x, y^2] = 0 porque x e y comutam, e [py, y^2] = -2ihbar y (usando [py, y] = -ihbar).
Então:
[x py, y^2] = x [py, y^2] = x (-2ihbar y) = -2ihbar x y

Passo 8

Agora, vamos calcular [y px, x^2]:
Similarmente, [y, x^2] = 0 porque y e x comutam, e [px, x^2] = -2ihbar x.
Então:
[y px, x^2] = y [px, x^2] = y (-2ihbar x) = -2ihbar y x

Passo 9

Agora, substituímos de volta no comutador original:
[Lz, r^2] = -2ihbar x y - (-2ihbar y x) = -2ihbar x y + 2ihbar y x
Como x y = y x, temos:
[Lz, r^2] = 0

Passo 10

Agora, vamos calcular o comutador [Lx^2, p^2]. Primeiro, precisamos definir o que representam Lx^2 e p^2.
Sabemos que p^2 = px^2 + py^2 + pz^2. Já Lx é o operador de momento angular na direção x, mas aqui temos Lx^2, o que pode indicar uma função do operador Lx. No entanto, para simplificar, vamos assumir que se refere ao quadrado de Lx, ou seja, Lx^2.
Então, vamos calcular [Lx^2, p^2].

Passo 11

Sabemos que:
Lx = y pz - z py
Portanto,
Lx^2 = (y pz - z py)^2
Vamos expandir isso:
Lx^2 = y pz y pz - y pz z py - z py y pz + z py z py

Passo 12

Agora, vamos calcular o comutador [Lx^2, p^2]:
[Lx^2, p^2] = Lx^2 p^2 - p^2 Lx^2
Para calcular isso, precisamos expandir ambos os termos e simplificar, mas isso pode ficar muito complexo. Em vez disso, vamos usar uma propriedade dos comutadores: se um operador A comuta com p^2, então [A^2, p^2] = 2A[A, p^2].

Passo 13

Vamos verificar se Lx comuta com p^2. Calculamos [Lx, p^2]:
[Lx, p^2] = [y pz - z py, px^2 + py^2 + pz^2]
Isso resulta em:
[y pz, px^2] + [y pz, py^2] + [y pz, pz^2] - [z py, px^2] - [z py, py^2] - [z py, pz^2]
Como pz comuta com px e py, e py comuta com px e pz, todos esses comutadores são zero:
[Lx, p^2] = 0

Passo 14

Então, usando a propriedade mencionada:
[Lx^2, p^2] = 2Lx[Lx, p^2] = 2Lx cdot 0 = 0

Resposta

Os comutadores [Lz, r^2] e [Lx^2, p^2] avaliam-se como zero:
[Lz, r^2] = 0 e [Lx^2, p^2] = 0

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