© Avalie os comutadores
(nos quais, é claro,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular os comutadores
e
. Aqui,
é definido como
e
como
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente sobre operadores e comutadores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um comutador. O comutador de dois operadores
e
é definido como:
Esse conceito é fundamental na Mecânica Quântica porque nos ajuda a entender como diferentes observáveis se relacionam entre si.
Passo 3
Vamos começar calculando o comutador
. Sabemos que o operador de momento angular
é dado por:
E
. Nosso objetivo é calcular:
Passo 4
Vamos multiplicar
por
:
Expandindo essa expressão:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar
por
:
Expandindo essa expressão:
Passo 6
Agora, vamos subtrair as duas expressões para encontrar o comutador:
Subtraindo termo a termo, percebemos que alguns termos se cancelam, e o que sobra é:
Passo 7
Vamos calcular cada um desses comutadores separadamente. Primeiro,
:
Usamos a regra
. Sabemos que
porque
e
comutam, e
(usando
).
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Similarmente,
porque
e
comutam, e
.
Então:
Passo 9
Agora, substituímos de volta no comutador original:
Como
, temos:
Passo 10
Agora, vamos calcular o comutador
. Primeiro, precisamos definir o que representam
e
.
Sabemos que
. Já
é o operador de momento angular na direção
, mas aqui temos
, o que pode indicar uma função do operador
. No entanto, para simplificar, vamos assumir que se refere ao quadrado de
, ou seja,
.
Então, vamos calcular
.
Passo 11
Sabemos que:
Portanto,
Vamos expandir isso:
Passo 12
Agora, vamos calcular o comutador
:
Para calcular isso, precisamos expandir ambos os termos e simplificar, mas isso pode ficar muito complexo. Em vez disso, vamos usar uma propriedade dos comutadores: se um operador
comuta com
, então
.
Passo 13
Vamos verificar se
comuta com
. Calculamos
:
Isso resulta em:
Como
comuta com
e
, e
comuta com
e
, todos esses comutadores são zero:
Passo 14
Então, usando a propriedade mencionada:
Resposta
Os comutadores
e
avaliam-se como zero: