(D) Um disco circular isolante de raio R possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por sigma(r)=sigma0(r / R), onde sigma0 é uma constante e r é a distância ao eixo do disco.
(a) Calcule a carga total contida no disco

Passo 1

Então, temos um disco circular isolante com raio R. A densidade superficial de carga, que é a quantidade de carga por unidade de área, não é constante e depende da distância r ao centro do disco. A função que descreve essa densidade é sigma(r) = sigma0 ( rR ), onde sigma0 é uma constante. Nosso objetivo aqui é calcular a carga total presente nesse disco.

Passo 2

Para encontrar a carga total Q no disco, precisamos integrar a densidade de carga sigma(r) sobre toda a área do disco. Em termos matemáticos, isso é representado por:
Q = integral sigma(r) , dA
Aqui, dA representa um elemento infinitesimal de área na superfície do disco.

Passo 3

Como o disco é circular e a densidade de carga depende apenas da distância ao centro, é conveniente usar coordenadas polares para realizar a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área dA é dado por:
dA = 2pi r , dr
Isso porque estamos integrando ao longo de círculos concêntricos de raio r.

Passo 4

Substituindo sigma(r) e dA na integral de Q, temos:
Q = integral0^R sigma0 ( rR ) times 2pi r , dr
Simplificando a expressão:
Q = 2pi sigma0 1R integral0^R r^2 , dr

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral0^R r^2 , dr. A antiderivada de r^2 é r^33, então:
integral0^R r^2 , dr = [ r^33 ]0^R = R^33 - 0 = R^33

Passo 6

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para Q:
Q = 2pi sigma0 1R times R^33
Simplificando:
Q = 2pi sigma0 times R^23

Resposta

A carga total contida no disco é:
Q = 23 pi sigma0 R^2

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