(D) Um disco circular isolante de raio
possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por
, onde
é uma constante e
é a distância ao eixo do disco.
(a) Calcule a carga total contida no disco
(a) Calcule a carga total contida no disco
Passo 1
Então, temos um disco circular isolante com raio
. A densidade superficial de carga, que é a quantidade de carga por unidade de área, não é constante e depende da distância
ao centro do disco. A função que descreve essa densidade é
, onde
é uma constante. Nosso objetivo aqui é calcular a carga total presente nesse disco.
Passo 2
Para encontrar a carga total
no disco, precisamos integrar a densidade de carga
sobre toda a área do disco. Em termos matemáticos, isso é representado por:
Aqui,
representa um elemento infinitesimal de área na superfície do disco.
Passo 3
Como o disco é circular e a densidade de carga depende apenas da distância ao centro, é conveniente usar coordenadas polares para realizar a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área
é dado por:
Isso porque estamos integrando ao longo de círculos concêntricos de raio
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral de
, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para
:
Simplificando:
Resposta
A carga total contida no disco é: