(D) Uma esfera isolante de raio R possui uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por rho(r)= rho0(r / R), onde rho0 é uma constante e r é a distância até o centro dela.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pela esfera em todo o espaço. Justifique cuidadosamente os argumentos de simetria utilizados.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma esfera isolante com raio e uma densidade de carga que depende da distância ao centro, dada por . O que a gente precisa fazer aqui é usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dessa esfera em qualquer ponto do espaço. Então, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em situações com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 :
Como a densidade de carga varia com , precisamos escolher uma superfície gaussiana que facilite nossos cálculos, e isso geralmente significa aproveitar a simetria do problema.

Passo 3

A simetria da esfera nos diz que o campo elétrico vai depender apenas da distância ao centro da esfera e vai ser radial, ou seja, apontando para fora ou para dentro do centro. Então, vamos escolher uma superfície gaussiana que também é uma esfera de raio concentricamente com a esfera de carga.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico. Como o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, o fluxo fica:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2
Por outro lado, precisamos encontrar a carga total dentro dessa superfície gaussiana, .

Passo 5

Vamos calcular Qinterno = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = integral0^r rho0 ( r'R ) 4pi r'^2 dr' = 4pi rho0R integral0^r r'^3 dr' = 4pi rho0R cdot r^44 = pi rho0 r^4R integrando a densidade de carga até o raio :

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0 = pi rho0 r^4varepsilon0 R
Resolvendo para E(r) = pi rho0 r^44pi varepsilon0 R r^2 = rho0 r^24 varepsilon0 R :
Qtotal = pi rho0 R^4R = pi rho0 R^3
Mas isso é válido para E(r) cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 Rightarrow E(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r^2 = pi rho0 R^34pi varepsilon0 r^2 = rho0 R^34 varepsilon0 r^2 . Para , a carga total na esfera é:
Então, aplicando a Lei de Gauss fora da esfera:

Resposta

O campo elétrico E(r) = rho0 r^24,varepsilon0 R r, & para r <= R rho0 R^34,varepsilon0 r^2 r, & para r > R produzido pela esfera é dado por:

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