(D) Uma esfera isolante de raio possui uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante e é a distância até o centro dela.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pela esfera em todo o espaço. Justifique cuidadosamente os argumentos de simetria utilizados.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma esfera isolante com raio e uma densidade de carga que depende da distância ao centro, dada por . O que a gente precisa fazer aqui é usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dessa esfera em qualquer ponto do espaço. Então, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em situações com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Como a densidade de carga varia com , precisamos escolher uma superfície gaussiana que facilite nossos cálculos, e isso geralmente significa aproveitar a simetria do problema.
Passo 3
A simetria da esfera nos diz que o campo elétrico vai depender apenas da distância ao centro da esfera e vai ser radial, ou seja, apontando para fora ou para dentro do centro. Então, vamos escolher uma superfície gaussiana que também é uma esfera de raio concentricamente com a esfera de carga.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico. Como o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, o fluxo fica:
Por outro lado, precisamos encontrar a carga total dentro dessa superfície gaussiana, .
Passo 5
Vamos calcular integrando a densidade de carga até o raio :
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Mas isso é válido para . Para , a carga total na esfera é:
Então, aplicando a Lei de Gauss fora da esfera:
Resposta
O campo elétrico produzido pela esfera é dado por: