(D) Uma esfera isolante de raio possui uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante e é a distância até o centro dela.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pela esfera em todo o espaço. Justifique cuidadosamente os argumentos de simetria utilizados.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma esfera isolante com raio e uma densidade de carga que depende da distância ao centro, dada por . O que a gente precisa fazer aqui é usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dessa esfera em qualquer ponto do espaço. Então, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em situações com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Como a densidade de carga varia com , precisamos escolher uma superfície gaussiana que facilite nossos cálculos, e isso geralmente significa aproveitar a simetria do problema.

Passo 3

A simetria da esfera nos diz que o campo elétrico vai depender apenas da distância ao centro da esfera e vai ser radial, ou seja, apontando para fora ou para dentro do centro. Então, vamos escolher uma superfície gaussiana que também é uma esfera de raio concentricamente com a esfera de carga.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico. Como o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, o fluxo fica:
Por outro lado, precisamos encontrar a carga total dentro dessa superfície gaussiana, .

Passo 5

Vamos calcular integrando a densidade de carga até o raio :

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Mas isso é válido para . Para , a carga total na esfera é:
Então, aplicando a Lei de Gauss fora da esfera:

Resposta

O campo elétrico produzido pela esfera é dado por:

Exercícios relacionados

(D) Um disco circular isolante de raio possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante e é a distância ao eixo do disco.
(a) Calcule a carga total contida no disco
Em um circuito com resistores em série e em paralelo, ao aplicar a LKT, como deve ser tratada a resistência equivalente?
A) A resistência equivalente de resistores em série é tratada como a soma aritmética das resistências.
B) A resistência equivalente de resistores em paralelo é a soma aritmética das resistências.
C) A resistência equivalente de resistores em paralelo é sempre maior do que qualquer uma das resistências individuais.
D) A resistência equivalente de resistores em série é o inverso da soma das resistências individuais.
E) A resistência equivalente de resistores em paralelo não interfere na aplicação da LKT.
(b) Utilizando o resultado acima e seus conhecimentos sobre condutores em equilíbrio eletrostático e indução de cargas, desenhe as linhas de campo produzidas por essa configuração.
(D) Uma esfera condutora neutra de raio é posicionada com seu centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Ela está imersa em uma região de campo elétrico uniforme dado por . Nessa situação, é possível mostrar que o potencial elétrico resultante deste campo e do campo produzido pelas cargas induzidas na esfera, no lado de fora da esfera, é:
onde é uma constante que corresponde ao potencial elétrico sobre todos os pontos da esfera.
(a) Determine as componentes e do campo elétrico resultante no lado de fora da esfera.