d Nd t=N2 V raizk Tm
Resolva esta equação (assumindo temperatura constante) para obter N(t)= N0 e^-t / tau, onde tau é o tempo característico para N cair por um fator e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial que descreve como a quantidade varia ao longo do tempo . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, e vamos precisar usar conhecimentos sobre resolução de equações diferenciais de primeira ordem e funções exponenciais. Nosso objetivo é chegar numa expressão que mostra como depende do tempo, seguindo a fórmula , onde é um tempo característico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
dNdt = N2V raizkTm
Aqui, dNdt = aN representa a taxa de variação de em relação ao tempo. A equação é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser escrita na forma:
onde é uma constante.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis dNN = a , dt e . Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro lado.

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral de integral 1N dN = integral a , dt é ln N = a t + C , e a integral de é .
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para e^ln N = e^a t + C , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
N = e^C e^a t
Isso simplifica para:
N = N0 e^a t
Podemos redefinir como , que é a quantidade inicial de quando .

Passo 6

No entanto, o enunciado pede uma expressão onde dNdt = N2V raizkTm diminui com o tempo, ou seja, uma função exponencial negativa. Isso sugere que houve um erro de sinal na etapa anterior. Vamos revisar:
A equação original é:
dNdt = -N2V raizkTm
Se queremos que ln N = -a t + C diminua, a equação correta deveria ter um sinal negativo:
N = N0 e^-a t
Seguindo os mesmos passos de separação e integração:

Passo 7

Agora, identificamos que 1tau = a = 12V raizkTm , e queremos expressar a solução na forma tau = 2V raizmkT . Comparando as duas expressões, vemos que:
Portanto, o tempo característico é:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
N(t) = N0 e^-t / tau
onde é o tempo característico para diminuir por um fator .

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