Resolva esta equação (assumindo temperatura constante) para obter
, onde
é o tempo característico para N cair por um fator e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial que descreve como a quantidade
varia ao longo do tempo
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, e vamos precisar usar conhecimentos sobre resolução de equações diferenciais de primeira ordem e funções exponenciais. Nosso objetivo é chegar numa expressão que mostra como
depende do tempo, seguindo a fórmula
, onde
é um tempo característico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
representa a taxa de variação de
em relação ao tempo. A equação é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser escrita na forma:
onde
é uma constante.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro lado.
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
.
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos redefinir
como
, que é a quantidade inicial de
quando
.
Passo 6
No entanto, o enunciado pede uma expressão onde
diminui com o tempo, ou seja, uma função exponencial negativa. Isso sugere que houve um erro de sinal na etapa anterior. Vamos revisar:
A equação original é:
Se queremos que
diminua, a equação correta deveria ter um sinal negativo:
Seguindo os mesmos passos de separação e integração:
Passo 7
Agora, identificamos que
, e queremos expressar a solução na forma
. Comparando as duas expressões, vemos que:
Portanto, o tempo característico
é:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde
é o tempo característico para
diminuir por um fator
.
Exercícios relacionados
O vetor posiçāo de uma partícula é dado por
, onde as constantes são
e
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente.
Calcule o vetor velocidade média da partícula entre os instantes e
;
Calcule o vetor velocidade média da partícula entre os instantes
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 04/09/2023 | 000000 | REM | BASICA | 0,15080 | | 38,39c |
| 04/09/2023 | 000000 | CRED | JUROS | 0,50000 | |
|
| 13/09/2023 | 000000 | REM | BASICA | 0,14370 | |
|
| 13/09/2023 | 000000 | CRED | JUROS | 0,50000 | |
|
| 04/09/2023 | 000000 | REM | BASICA | 0,15080 |
| 04/09/2023 | 000000 | CRED | JUROS | 0,50000 |
| 13/09/2023 | 000000 | REM | BASICA | 0,14370 |
| 13/09/2023 | 000000 | CRED | JUROS | 0,50000 |
Derive uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, em termos de sua temperatura e massa molecular média. Compare seu resultado com o fórmula para a velocidade rms das moléculas do gás. Avalie a velocidade do som numericamente para o ar à temperatura ambiente.
Calcule
em termos do coeficiente expansão térmica
da compressibilidade térmica
e da temperatura.