Calcule (partial Hpartial V)T, N em termos do coeficiente expansão térmica (alpha=1V(partial Vpartial T)P) da compressibilidade térmica (kT=-1V(partial Vpartial P)T) e da temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Termodinâmica que pede para calcular a derivada parcial da entalpia em relação ao volume , mantendo a temperatura e o número de partículas constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isoterma , além de entender algumas relações básicas da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a entalpia H = U + PV é definida por:
Onde:
  • é a energia interna,
  • é a pressão,
  • é o volume.
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos derivar ( partial Hpartial V )T, N = ( partial Upartial V )T, N + P + V ( partial Ppartial V )T, N em relação a , mantendo e constantes:
Aqui, usamos a regra da derivada para somas e produtos.

Passo 4

Precisamos expressar ( partial Upartial V )T, N = T ( partial Ppartial T )V, N - P em termos de outras grandezas que conhecemos. Usando a relação de Maxwell e sabendo que:
alpha = 1V ( partial Vpartial T )P
Além disso, sabemos que o coeficiente de expansão térmica kT = -1V ( partial Vpartial P )T e a compressibilidade isoterma ( partial Ppartial T )V, N = alphakT estão relacionados da seguinte forma:
( partial Ppartial V )T, N = -1V kT
Também, podemos relacionar com e :
E a derivada de em relação a a temperatura constante fica:

Passo 5

Substituindo essas relações na expressão original de ( partial Hpartial V )T, N = T ( alphakT ) - 1kT :
( partial Hpartial V )T, N = T alpha - 1kT
Fatorando :

Resposta

A derivada parcial da entalpia em relação ao volume, mantida a temperatura e o número de partículas constantes, é:
( partial Hpartial V )T, N = T alpha - 1kT

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