Derive uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, em termos de sua temperatura e massa molecular média. Compare seu resultado com o fórmula para a velocidade rms das moléculas do gás. Avalie a velocidade do som numericamente para o ar à temperatura ambiente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para derivarmos uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, usando a temperatura e a massa molecular média. Também precisamos comparar isso com a fórmula da velocidade rms das moléculas do gás e, por fim, calcular numericamente a velocidade do som para o ar à temperatura ambiente. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica e teoria cinética dos gases.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a velocidade do som. Ela representa a rapidez com que uma onda sonora se propaga através de um meio. Em um gás ideal, essa velocidade depende da temperatura, da massa molecular das moléculas do gás e das propriedades termodinâmicas do gás, como a razão de capacidades caloríficas.
A fórmula geral para a velocidade do som c = raizgamma R TM em um gás ideal é dada por:
Onde:
  • é a razão das capacidades caloríficas .
  • é a constante universal dos gases ( ).
  • é a temperatura absoluta em Kelvin.
  • é a massa molar do gás (em kg/mol).

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa expressão com a massa molecular média. Sabemos que a massa molar M = NA cdot m está relacionada à massa de uma molécula c = raizgamma R TNA m pela relação:
c = raizgamma kB Tm
Onde é o número de Avogadro ( ).
Substituindo na fórmula da velocidade do som, temos:
Mas como (onde é a constante de Boltzmann), podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos comparar isso com a velocidade rms ( vrms = raiz3 kB Tm ) das moléculas do gás, que é dada por:
Observamos que ambas as velocidades dependem da temperatura e da massa molecular . A principal diferença está no fator que multiplica essas grandezas. Para a velocidade do som, temos , enquanto para a velocidade rms, temos o fator 3.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular numericamente a velocidade do som para o ar à temperatura ambiente. Vamos considerar:
  • Temperatura c = raiz1,4 times 1,38 times 10^-23 , J/K times 300 , K4,81 times 10^-26 , kg
  • Massa molecular média do ar c = raiz1,4 times 4,14 times 10^-214,81 times 10^-26 = raiz1,4 times 8,61 times 10^4 = raiz1,205 times 10^5 approx 347 , m/s (isso corresponde a aproximadamente 28.97 g/mol)
  • Razão de capacidades caloríficas para o ar
Usando a fórmula derivada:
Calculando os valores dentro da raiz:

Resposta

A velocidade do som no ar à temperatura ambiente (300 K) é de aproximadamente 347 m/s.

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