Derive uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, em termos de sua temperatura e massa molecular média. Compare seu resultado com o fórmula para a velocidade rms das moléculas do gás. Avalie a velocidade do som numericamente para o ar à temperatura ambiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para derivarmos uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, usando a temperatura e a massa molecular média. Também precisamos comparar isso com a fórmula da velocidade rms das moléculas do gás e, por fim, calcular numericamente a velocidade do som para o ar à temperatura ambiente. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica e teoria cinética dos gases.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a velocidade do som. Ela representa a rapidez com que uma onda sonora se propaga através de um meio. Em um gás ideal, essa velocidade depende da temperatura, da massa molecular das moléculas do gás e das propriedades termodinâmicas do gás, como a razão de capacidades caloríficas.
A fórmula geral para a velocidade do som
em um gás ideal é dada por:
Onde:
-
é a razão das capacidades caloríficas . -
é a constante universal dos gases ( ). -
é a temperatura absoluta em Kelvin. -
é a massa molar do gás (em kg/mol).
Passo 3
Agora, vamos relacionar essa expressão com a massa molecular média. Sabemos que a massa molar
está relacionada à massa de uma molécula
pela relação:
Onde
é o número de Avogadro (
).
Substituindo
na fórmula da velocidade do som, temos:
Mas como
(onde
é a constante de Boltzmann), podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos comparar isso com a velocidade rms (
) das moléculas do gás, que é dada por:
Observamos que ambas as velocidades dependem da temperatura
e da massa molecular
. A principal diferença está no fator que multiplica essas grandezas. Para a velocidade do som, temos
, enquanto para a velocidade rms, temos o fator 3.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular numericamente a velocidade do som para o ar à temperatura ambiente. Vamos considerar:
- Temperatura
- Massa molecular média do ar
(isso corresponde a aproximadamente 28.97 g/mol) - Razão de capacidades caloríficas para o ar
Usando a fórmula derivada:
Calculando os valores dentro da raiz:
Resposta
A velocidade do som no ar à temperatura ambiente (300 K) é de aproximadamente 347 m/s.
Exercícios relacionados
Resolva esta equação (assumindo temperatura constante) para obter
, onde
é o tempo característico para N cair por um fator e.
O vetor posiçāo de uma partícula é dado por
, onde as constantes são
e
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente.
Calcule o vetor velocidade média da partícula entre os instantes e
;
Calcule o vetor velocidade média da partícula entre os instantes
Calcule
em termos do coeficiente expansão térmica
da compressibilidade térmica
e da temperatura.
O vetor posiçāo de uma partícula é dado por
, onde as constantes são
e
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente.
Calcule o vetor velocidade da partícula em ;
Calcule o vetor velocidade da partícula em