Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
c) duas funções
tais que
e
c) duas funções
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar duas funções
e
definidas no intervalo
que cumpram três condições:
- A integral de
de 0 a 1 é igual a 1: . - A integral de
de 0 a 1 também é igual a 1: . - A integral do produto das duas funções de 0 a 1 é igual a 0:
.
Para resolver isso, vamos pensar em funções que não “se encontrem” de forma que o produto delas seja sempre zero, mas que cada uma individualmente tenha uma área de 1 no intervalo
.
Passo 2
Uma maneira simples de garantir que o produto
para todo
é fazer com que, quando uma das funções seja diferente de zero, a outra seja zero, e vice-versa. Ou seja, vamos fazer com que as “atividades” das funções não se sobreponham.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo
em duas partes:
e
. Definimos
para ser diferente de zero só em
e
só em
. Assim, onde
está atuando,
é zero, e onde
está atuando,
é zero.
Passo 4
Vamos definir as funções dessa forma:
Escolhemos o valor 2 porque, multiplicado pela largura do intervalo (0.5), nos dá uma área de 1 para cada função:
.
Passo 5
Vamos verificar se essas funções realmente satisfazem as condições:
- Integral de
:
- Integral de
:
- Integral do produto
:
Tudo confere direitinho!
Resposta
Um exemplo de funções que satisfazem as condições é:
Exercícios relacionados
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(a) ,
(a)
a) Encontre um exemplo de uma função
limitada, tal que existe
com a propriedade que