Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
c) duas funções tais que e

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar duas funções e definidas no intervalo que cumpram três condições:
  1. A integral de de 0 a 1 é igual a 1: .
  2. A integral de de 0 a 1 também é igual a 1: .
  3. A integral do produto das duas funções de 0 a 1 é igual a 0: .
Para resolver isso, vamos pensar em funções que não “se encontrem” de forma que o produto delas seja sempre zero, mas que cada uma individualmente tenha uma área de 1 no intervalo .

Passo 2

Uma maneira simples de garantir que o produto para todo é fazer com que, quando uma das funções seja diferente de zero, a outra seja zero, e vice-versa. Ou seja, vamos fazer com que as “atividades” das funções não se sobreponham.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo em duas partes: e . Definimos para ser diferente de zero só em e só em . Assim, onde está atuando, é zero, e onde está atuando, é zero.

Passo 4

Vamos definir as funções dessa forma:
á
á
Escolhemos o valor 2 porque, multiplicado pela largura do intervalo (0.5), nos dá uma área de 1 para cada função: .

Passo 5

Vamos verificar se essas funções realmente satisfazem as condições:
  1. Integral de :
  1. Integral de :
  1. Integral do produto :
Tudo confere direitinho!

Resposta

Um exemplo de funções que satisfazem as condições é:
á
á

Exercícios relacionados

.
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(a) ,
a) Encontre um exemplo de uma função limitada, tal que existe com a propriedade que