Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
c) duas funções f, g tais que integral0^1 f=1, integral0^1 g=1 e integral0^1 f g=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar duas funções e definidas no intervalo que cumpram três condições:
  1. A integral de de 0 a 1 é igual a 1: .
  2. A integral de de 0 a 1 também é igual a 1: .
  3. A integral do produto das duas funções de 0 a 1 é igual a 0: .
Para resolver isso, vamos pensar em funções que não “se encontrem” de forma que o produto delas seja sempre zero, mas que cada uma individualmente tenha uma área de 1 no intervalo .

Passo 2

Uma maneira simples de garantir que o produto para todo é fazer com que, quando uma das funções seja diferente de zero, a outra seja zero, e vice-versa. Ou seja, vamos fazer com que as “atividades” das funções não se sobreponham.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo em duas partes: e . Definimos para ser diferente de zero só em e só em . Assim, onde está atuando, é zero, e onde está atuando, é zero.

Passo 4

Vamos definir as funções dessa forma:
f(x) = 2 & se 0 <= x <= 0.5, 0 & caso contrário á
g(x) = 2 & se 0.5 < x <= 1, 0 & caso contrário á
Escolhemos o valor 2 porque, multiplicado pela largura do intervalo (0.5), nos dá uma área de 1 para cada função: .

Passo 5

Vamos verificar se essas funções realmente satisfazem as condições:
  1. Integral de integral0^1 f(x) , dx = integral0^0.5 2 , dx + integral0.5^1 0 , dx = 2 times 0.5 + 0 = 1 :
integral0^1 g(x) , dx = integral0^0.5 0 , dx + integral0.5^1 2 , dx = 0 + 2 times 0.5 = 1
  1. Integral de integral0^1 f(x)g(x) , dx = integral0^0.5 2 times 0 , dx + integral0.5^1 0 times 2 , dx = 0 + 0 = 0 :
  1. Integral do produto :
Tudo confere direitinho!

Resposta

Um exemplo de funções que satisfazem as condições é:
f(x) = 2 & se 0 <= x <= 0.5, 0 & caso contrário, á
g(x) = 2 & se 0.5 < x <= 1, 0 & caso contrário á

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