(D) Um fio condutor retilíneo de comprimento e seção transversal circular de raio tem uma resistividade que varia com a distância ao eixo do fio na forma , onde é uma constante positiva. Uma diferença de potencial é aplicada às extremidades do fio.
(b) Determine a densidade de corrente que atravessa um ponto na seção transversal do fio como função de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um fio retilíneo com comprimento e seção circular de raio . A resistividade desse fio não é constante; ela varia conforme a distância do eixo do fio, sendo , onde é uma constante positiva. Além disso, uma diferença de potencial está sendo aplicada nas extremidades do fio. O que precisamos descobrir aqui é a densidade de corrente em um ponto da seção transversal do fio, em função de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente está relacionada com a corrente elétrica e a área pela relação:
Mas, como a resistividade varia com , a densidade de corrente também vai depender dessa distância.
Passo 3
Vamos considerar um anel de raio e espessura dentro da seção transversal do fio. A área desse anel é:
Passo 4
A resistividade local no anel é . A condutividade é o inverso da resistividade:
Passo 5
A corrente que passa por esse anel, , está relacionada à densidade de corrente e à área do anel:
Passo 6
Sabemos que a resistência infinitesimal de um elemento de comprimento e área é dada por:
Passo 7
A diferença de potencial é a soma das quedas de tensão em todos os anéis, então podemos integrar a resistência total :
Passo 8
Resolvendo a integral:
Mas aqui vemos que a integral diverge quando se aproxima de 0. Isso indica que a nossa abordagem precisa ser revista. Na realidade, a densidade de corrente não pode ser infinita, então vamos ajustar nossa linha de raciocínio.
Passo 9
Em vez disso, vamos considerar a relação entre J(s) = sigma(s) E(s) , E(s) = VL e a diferença de potencial . Sabemos que:
Onde é o campo elétrico no ponto . Além disso, o campo elétrico está relacionado com a diferença de potencial:
Passo 10
Substituindo J(s) = sigma(s) cdot VL = 1k s cdot VL = Vk L s na expressão de :
Resposta
A densidade de corrente que atravessa um ponto na seção transversal do fio em função de J(s) = Vk L s é: