(D) Um fio condutor retilíneo de comprimento L e seção transversal circular de raio a tem uma resistividade que varia com a distância s ao eixo do fio na forma rho(s)=k s, onde k é uma constante positiva. Uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades do fio.
(b) Determine a densidade de corrente que atravessa um ponto na seção transversal do fio como função de s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fio retilíneo com comprimento e seção circular de raio . A resistividade desse fio não é constante; ela varia conforme a distância do eixo do fio, sendo , onde é uma constante positiva. Além disso, uma diferença de potencial está sendo aplicada nas extremidades do fio. O que precisamos descobrir aqui é a densidade de corrente em um ponto da seção transversal do fio, em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente J = IA está relacionada com a corrente elétrica e a área pela relação:
Mas, como a resistividade varia com , a densidade de corrente também vai depender dessa distância.

Passo 3

Vamos considerar um anel de raio dA = 2pi s , ds e espessura dentro da seção transversal do fio. A área desse anel é:

Passo 4

A resistividade local no anel é sigma(s) = 1rho(s) = 1k s . A condutividade é o inverso da resistividade:

Passo 5

A corrente que passa por esse anel, dI = J(s) , dA = J(s) cdot 2pi s , ds , está relacionada à densidade de corrente e à área do anel:

Passo 6

Sabemos que a resistência infinitesimal dR = rho(s) LdA = k s L2pi s , ds = k L2pi , ds de um elemento de comprimento e área é dada por:

Passo 7

A diferença de potencial V = I cdot R = I cdot integral0^a dR = I cdot integral0^a k L2pi , ds = I cdot k L2pi integral0^a 1s , ds é a soma das quedas de tensão em todos os anéis, então podemos integrar a resistência total :

Passo 8

Resolvendo a integral:
integral0^a 1s , ds = ln(s) g|0^a = ln(a) - ln(0)
Mas aqui vemos que a integral diverge quando se aproxima de 0. Isso indica que a nossa abordagem precisa ser revista. Na realidade, a densidade de corrente não pode ser infinita, então vamos ajustar nossa linha de raciocínio.

Passo 9

Em vez disso, vamos considerar a relação entre J(s) = sigma(s) E(s) , E(s) = VL e a diferença de potencial . Sabemos que:
Onde é o campo elétrico no ponto . Além disso, o campo elétrico está relacionado com a diferença de potencial:

Passo 10

Substituindo J(s) = sigma(s) cdot VL = 1k s cdot VL = Vk L s na expressão de :

Resposta

A densidade de corrente que atravessa um ponto na seção transversal do fio em função de J(s) = Vk L s é:

Exercícios relacionados

(D) Um fio condutor retilíneo de comprimento L e seção transversal circular de raio a tem uma resistividade que varia com a distância s ao eixo do fio na forma rho(s)=k s, onde k é uma constante positiva. Uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades do fio.
(a) Determine a intensidade do campo elétrico no interior do fio, supondo que ele é uniforme.
(F) Um fio condutor retilíneo tem seção transversal constante e está inicialmente submetido a uma diferença de potencial V entre suas extremidades. Suponha agora que o fio é esticado, de forma que seu comprimento é dobrado e a área de sua seção transversal é reduzida pela metade. Se a diferença de potencial entre as suas extremidades permanece inalterada, determine:
(d) A razão entre as intensidades da densidade de corrente no interior do fio antes e depois dele ser esticado.
(D) Um resistor é formado por uma casca cilindrica condutora de resistividade rho, raio interno a, raio externo b e comprimento L. Suponha que uma corrente estacionária de intensidade I flui radialmente da superfície interna para a superfície externa da casca.
(b) Utilizando a lei de Ohm microscópica, determine o campo elétrico no mesmo ponto.
(D) Um resistor é formado por uma casca cilindrica condutora de resistividade rho, raio interno a, raio externo b e comprimento L. Suponha que uma corrente estacionária de intensidade I flui radialmente da superfície interna para a superfície externa da casca.
(a) Determine a densidade de corrente em um ponto no interior da casca, a uma distância s do eixo (a. Sugestão: Considere uma casca cilíndrica fina de raio s e comprimento L e mostre que a corrente que flui através dela é dada por I=J(s) 2 pi s L, para qualquer valor de s.