d) No tempo té medido Lz^2
(i) Existem momentos quando um único resultado é possível?
(ii) Assumir que o resultado da medida é hbar^2. Qual é o estado do sistema imediatamente após a medida ?. Indique a evolução temporal.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema quântico onde medimos o operador $ L_z^2 $ no tempo $ t $. O conteúdo aqui envolve mecânica quântica, especificamente medições de operadores observáveis e estados pós-medida. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre valores próprios e vetores próprios de operadores, além de como os estados evoluem no tempo segundo a equação de Schrödinger.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (i): “Existem momentos quando um único resultado é possível?” Isso quer dizer: em que situações a medida de $ L_z^2 $ vai dar sempre o mesmo valor, sem incertezas?
Para que a medida sempre dê o mesmo resultado, o sistema precisa estar em um estado próprio de $ L_z^2 $. Ou seja, o estado do sistema deve ser tal que, quando aplicamos $ L_z^2 $ nesse estado, o resultado é sempre um múltiplo constante desse estado. Matematicamente, isso é expresso por:
Lz^2
onde $ \lambda $ é o valor próprio correspondente.
Então, sim, existem momentos (ou estados) onde a medida de $ L_z^2 $ sempre dá o mesmo resultado, especificamente quando o sistema está em um estado próprio de $ L_z^2 $.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (ii): “Assumir que o resultado da medida é $ \hbar^{2} $. Qual é o estado do sistema imediatamente após a medida? Indique a evolução temporal.”
Quando medimos $ L_z^2 $ e obtemos um resultado específico, como $ \hbar^{2} $, o estado do sistema colapsa para o vetor próprio correspondente a esse valor próprio. Ou seja, imediatamente após a medida, o estado do sistema será:
hbar^2
Esse é o estado normalizado que satisfaz:
Lz^2
Quanto à evolução temporal, se o sistema estiver isolado e evoluir segundo a equação de Schrödinger, o estado $ |\psi’\rangle $ vai evoluir no tempo com um fator de fase:
hbar^2
onde $ H $ é o Hamiltoniano do sistema. Se $ |\psi’\rangle $ for um estado próprio de $ H $, a evolução será simplesmente uma mudança de fase. Caso contrário, a evolução será uma combinação linear dos estados próprios de $ H $.

Resposta

Sim, existem momentos em que um único resultado é possível. Após a medida que resulta em $ \hbar^{2} $, o estado do sistema imediatamente após a medida é o vetor próprio correspondente a $ L_z^2 = \hbar^{2} $. A evolução temporal desse estado segue a equação de Schrödinger, possivelmente adquirindo um fator de fase dependendo do Hamiltoniano do sistema.

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