Considere um sistema de momento angular . Uma base de su espaço de estados é formada por três autovetores do operador , cujos autovalores são e , respectivamente. Este sistema, que possui momento quadrupolar elétrico, é colocado em um gradiente de campo elétrico, tal que o Hamiltoniano pode ser escrito:
onde e são componentes do vetor momento angular ao longo de duas direções e do plano , os quais formam um ângulos de com e Oz .
a) Escreva a matriz que representa o Hamiltoniano na base }. Quais são os estados estacionários do sistema, e quais são suas energias ?. Estes estados devem ser escritos como , por ordem decrescente das energias.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com momento angular $ l = 1 $ e uma base de estados formada pelos autovetores $ |+1\rangle $, $ |0\rangle $ e $ |-1\rangle $ do operador $ L_z $, com autovalores $ \hbar $, $ 0 $ e $ -\hbar $, respectivamente. O sistema tem momento quadrupolar elétrico e é submetido a um gradiente de campo elétrico. O Hamiltoniano é dado por:
onde $ L_u $ e $ L_v $ são componentes do momento angular em direções $ O_u $ e $ O_v $ que fazem $ 45^{\circ} $ com os eixos $ O_x $ e $ O_z $ no plano $ xOz $.
Queremos:
a) Escrever a matriz do Hamiltoniano nessa base.
b) Encontrar os estados estacionários e suas energias, ordenados decrescentemente.
Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar $ L_u $ e $ L_v $ em termos de $ L_x $ e $ L_z $, calcular o Hamiltoniano na base dada e, finalmente, diagonalizar essa matriz para encontrar os estados e energias.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar $ L_u $ e $ L_v $ em termos de $ L_x $ e $ L_z $. Sabemos que as direções $ O_u $ e $ O_v $ estão no plano $ xOz $ e formam um ângulo de $ 45^{\circ} $ com $ O_x $ e $ O_z $. Podemos usar transformações de rotação para isso.
As componentes $ L_u $ e $ L_v $ podem ser escritas como:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ L_u^2 - L_v^2 $:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Então, o Hamiltoniano fica:
Passo 4
Agora, precisamos representar $ H $ na base $ {|+1\rangle, |0\rangle, |-1\rangle} $. Para isso, precisamos conhecer as matrizes de $ L_x $ e $ L_z $ nessa base.
Sabemos que:
E $ L_x $ pode ser representado como:
|+1rang<=, |0rang<=, |-1rang<=
Agora, calculamos $ L_x L_z + L_z L_x $:
Lx
Lz
Somando $ L_x L_z + L_z L_x $:
Lz = hbar 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1
Então, o Hamiltoniano na base dada é:
Lx
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os estados estacionários e suas energias, ou seja, os autovalores e autovetores da matriz $ H $.
Considerando a matriz:
H
Calculamos os autovalores resolvendo o determinante $ \det(H - E I) = 0 $. Sem entrar nos detalhes dos cálculos, os autovalores resultantes são $ E_1 = \omega_{0} \hbar \sqrt{2} $, $ E_2 = 0 $ e $ E_3 = -\omega_{0} \hbar \sqrt{2} $.
Os autovetores correspondentes (estados estacionários) são:
H = omega0 hbar 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0
det(H - E I) = 0
E1 = omega0 hbar raiz2
Resposta
A matriz do Hamiltoniano na base |+1rang<=, |0rang<=, |-1rang<= é:
H = omega0 hbar 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0
Os estados estacionários do sistema e suas energias são: