Sabendo que Y2,1(theta, phi)=Csen theta cos theta e^i.
a) Determine a constante de normalização C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função matemática chamada $ Y_{2,1}(\theta, \phi) = C \sin \theta \cos \theta e^{i\phi} $. O exercício pede para encontrar a constante de normalização $ C $. Isso faz parte da matéria de funções esféricas, que são usadas, por exemplo, na mecânica quântica para descrever orbitais de elétrons. Para resolver isso, a gente precisa usar a condição de normalização, que garante que a função esteja “ajustada direitinho” para representar uma probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função. No caso das funções esféricas, a normalização garante que a integral do módulo ao quadrado da função sobre toda a esfera seja igual a 1. Ou seja:
integral0^2pi integral0^pi |Y2,1(theta, phi)|^2 sin theta , dtheta , dphi = 1
Aqui, $ \sin \theta , d\theta , d\phi $ é o elemento de área na esfera.

Passo 3

Vamos calcular o módulo ao quadrado da função $ Y_{2,1} $:
Y2,1
Sabemos que $ |e{i\phi}|2 = 1 $, então:
|Y2,1(theta, phi)|^2 = |C sin theta cos theta e^iphi|^2 = |C|^2 sin^2 theta cos^2 theta |e^iphi|^2

Passo 4

Agora, vamos substituir isso na integral de normalização:
|C|^2 integral0^2pi integral0^pi sin^2 theta cos^2 theta sin theta , dtheta , dphi = 1
Vamos separar as integrais em $ \theta $ e $ \phi $:
theta

Passo 5

Primeiro, calculamos a integral em $ \phi $:
phi
Agora, precisamos resolver a integral em $ \theta $:
integral0^2pi dphi = 2pi
Para simplificar, usamos a substituição $ u = \cos \theta $, então $ du = -\sin \theta d\theta $. Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 $; e quando $ \theta = \pi $, $ u = -1 $. A integral fica:
theta
Como a função $ u^2 - u^4 $ é par, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:
integral0^pi sin^3 theta cos^2 theta , dtheta

Passo 6

Voltando à equação da normalização:
|C|^2 cdot 2pi cdot 415 = 1
Resolvendo para $ |C|^2 $:
|C|^2
Assumindo que $ C $ é real e positivo, temos:
|C|^2 = 158pi

Resposta

A constante de normalização é $ C = \sqrt{\dfrac{15}{8\pi}} $.

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