Sabendo que
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a) Determine a constante de normalização C.
a) Determine a constante de normalização C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função matemática chamada $ Y_{2,1}(\theta, \phi) = C \sin \theta \cos \theta e^{i\phi} $. O exercício pede para encontrar a constante de normalização $ C $. Isso faz parte da matéria de funções esféricas, que são usadas, por exemplo, na mecânica quântica para descrever orbitais de elétrons. Para resolver isso, a gente precisa usar a condição de normalização, que garante que a função esteja “ajustada direitinho” para representar uma probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função. No caso das funções esféricas, a normalização garante que a integral do módulo ao quadrado da função sobre toda a esfera seja igual a 1. Ou seja:
Aqui, $ \sin \theta , d\theta , d\phi $ é o elemento de área na esfera.
Passo 3
Vamos calcular o módulo ao quadrado da função $ Y_{2,1} $:
Sabemos que $ |e{i\phi}|2 = 1 $, então:
Passo 4
Agora, vamos substituir isso na integral de normalização:
Vamos separar as integrais em $ \theta $ e $ \phi $:
Passo 5
Primeiro, calculamos a integral em $ \phi $:
Agora, precisamos resolver a integral em $ \theta $:
Para simplificar, usamos a substituição $ u = \cos \theta $, então $ du = -\sin \theta d\theta $. Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 $; e quando $ \theta = \pi $, $ u = -1 $. A integral fica:
Como a função $ u^2 - u^4 $ é par, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:
Passo 6
Voltando à equação da normalização:
Resolvendo para $ |C|^2 $:
Assumindo que $ C $ é real e positivo, temos:
Resposta
A constante de normalização é $ C = \sqrt{\dfrac{15}{8\pi}} $.