d y/d x = cos(x+y)
Sugestão: Faça x + y = Z(x).
Resp.: cossec(x+y) - cotg(x+y) = x + C

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação que relaciona a derivada de em relação a com o cosseno da soma de e . Para resolver isso, vamos usar uma substituição sugerida: . Vamos precisar usar regras de derivação e integração para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Sabemos que (pois ). Então, substituindo isso na equação:

Passo 3

Agora, temos uma nova equação diferencial em termos de :
Vamos reescrever isso de forma que possamos separar as variáveis e :

Passo 4

Para resolver a integral do lado esquerdo, vamos usar uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então:
Agora, substituindo na integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Substituindo:

Passo 5

Igualando as integrais de ambos os lados:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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