Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, então lim x infty(5x+1)^x^2 é:
a. e^5
b. infty
c. e
d. 1
e. 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
lim x infty(5x+1)^x^2
Para isso, vamos usar o conceito de limite de uma função que envolve exponenciação, similar ao exemplo dado na questão:
lim x infty(1+1x)^x=e
Vamos precisar entender como manipular expressões desse tipo para encontrar o limite desejado.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão original de uma maneira que facilite a aplicação da fórmula conhecida. Observe que:
(5x + 1)^x^2 = (1 + 5x)^x^2
Agora, podemos pensar nessa expressão como uma potência de uma potência:
(1 + 5x)^x e<=vado a x
Ou seja,
[(1 + 5x)^x]^x

Passo 3

Sabemos pela fórmula fornecida que:
lim x infty(1+ax)^x = e^a
Aplicando isso ao nosso caso, onde lim x infty(1+5x)^x = e^5 :

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão original:
[(1 + 5x)^x]^x approx (e^5)^x = e^5x

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite de lim x infty e^5x = infty quando tende ao infinito:

Resposta

b.

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