Considere um sinal periódico x(t), com período T0 = 0.1 s. No intervalo t pertence a [-0.05, 0.05] s o sinal é definido como
x(t) = u(t + 0.025) - u(t - 0.025)
Determine a expressão para os coeficientes ak da representação de x(t) por Série de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os coeficientes da Série de Fourier para um sinal periódico com período s. A gente sabe que a Série de Fourier decompõe um sinal periódico em uma soma de funções senoidais (seno e cosseno). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular esses coeficientes usando as fórmulas da teoria de Séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como é o sinal . Ele é definido no intervalo s como:
Aqui, é a função degrau unitário, que vale 0 para e 1 para . Então, muda de 0 para 1 em s, e muda de 0 para 1 em s. Isso faz com que seja igual a 1 no intervalo s e 0 fora desse intervalo, mas dentro do período s.

Passo 3

Agora vamos lembrar da fórmula geral para os coeficientes da Série de Fourier para uma função periódica com período :
Como nosso sinal é par (pois é simétrico em relação ao tempo), os coeficientes dos senos serão zero, e só precisamos calcular os .

Passo 4

Vamos substituir s na fórmula:
Mas sabemos que no intervalo s e 0 fora desse intervalo. Então, a integral fica apenas nesse intervalo:

Passo 5

Vamos calcular essa integral. A integral de é . Aplicando isso:
Simplificando:

Resposta

Os coeficientes da Série de Fourier para o sinal são dados por:

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