Considere um sinal periódico
, com período
. No intervalo
o sinal é definido como
Determine a expressão para os coeficientes
da representação de
por Série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os coeficientes
da Série de Fourier para um sinal periódico
com período
s. A gente sabe que a Série de Fourier decompõe um sinal periódico em uma soma de funções senoidais (seno e cosseno). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular esses coeficientes usando as fórmulas da teoria de Séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como é o sinal
. Ele é definido no intervalo
s como:
Aqui,
é a função degrau unitário, que vale 0 para
e 1 para
. Então,
muda de 0 para 1 em
s, e
muda de 0 para 1 em
s. Isso faz com que
seja igual a 1 no intervalo
s e 0 fora desse intervalo, mas dentro do período
s.
Passo 3
Agora vamos lembrar da fórmula geral para os coeficientes
da Série de Fourier para uma função periódica com período
:
Como nosso sinal
é par (pois é simétrico em relação ao tempo), os coeficientes dos senos serão zero, e só precisamos calcular os
.
Passo 4
Vamos substituir
s na fórmula:
Mas sabemos que
no intervalo
s e 0 fora desse intervalo. Então, a integral fica apenas nesse intervalo:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. A integral de
é
. Aplicando isso:
Simplificando:
Resposta
Os coeficientes
da Série de Fourier para o sinal
são dados por: