Dada y = e^(alpha x), em que alpha em R é uma raiz da equação a lambda^2 + b lambda + c = 0, com a, b e c constantes, verifique que
a d^2y/dx^2 + b dy/dx + c y = 0

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma função , e sabemos que é uma raiz da equação quadrática . Nosso objetivo é verificar se, ao substituir e suas derivadas na expressão , o resultado é igual a zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivação e de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de em relação a . A função que temos é . Sabemos que a derivada de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Seguindo a mesma regra de derivação:

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir esses valores na expressão dada:

Passo 5

Vamos fatorar da expressão:

Passo 6

Sabemos que é uma raiz da equação . Isso significa que substituindo por , a equação se anula:

Resposta

Portanto, a expressão é igual a zero.

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