Considere f e g funções deriváveis em R. Suponha que f(g(x)) = x^2, g(1) = 2 e f'(2) = -2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções, e , que são deriváveis em todos os números reais. A equação que relaciona elas é . Além disso, sabemos que e a derivada de em 2 é . Nosso objetivo aqui é achar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia que é uma ferramenta fundamental em cálculo para derivar composições de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Quando temos uma composição de funções como , usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada é o produto da derivada de em pela derivada de em . Então, aplicando isso:
E do outro lado, a derivada de é:
Então, igualando as duas derivadas, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que nos deram: e . Vamos substituir na equação que encontramos:
Substituindo e :
Para encontrar , basta resolver a equação:
Então, a derivada de em é .

Passo 4

Agora que temos a derivada em , que é a inclinação da reta tangente ( ), e sabemos que o ponto de tangência é , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo , e :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é .

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