Considere
e
funções deriváveis em
. Suponha que
e
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto (1,2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções,
e
, que são deriváveis em todos os números reais. A equação que relaciona elas é
. Além disso, sabemos que
e a derivada de
em 2 é
. Nosso objetivo aqui é achar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia que é uma ferramenta fundamental em cálculo para derivar composições de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Quando temos uma composição de funções como
, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada é o produto da derivada de
em
pela derivada de
em
. Então, aplicando isso:
E do outro lado, a derivada de
é:
Então, igualando as duas derivadas, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações que nos deram:
e
. Vamos substituir
na equação que encontramos:
Substituindo
e
:
Para encontrar
, basta resolver a equação:
Então, a derivada de
em
é
.
Passo 4
Agora que temos a derivada em
, que é a inclinação da reta tangente (
), e sabemos que o ponto de tangência é
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
.