Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando suas afirmações:
(a) A derivada da função f(x) = pi^x é f'(x) = x * pi^(x - 1).
(b) A derivada da função g(x) = x^pi é g'(x) = pi x^(pi - 1).
© Se f é ímpar, então f' é par.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar três afirmações sobre derivadas e dizer se são verdadeiras ou falsas, justificando cada uma. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como regras de derivação e propriedades de funções ímpares e pares. Vamos precisar entender como calcular derivadas de funções exponenciais e potências, além de lembrar o que significam funções ímpares e pares.

Passo 2

Analisando a afirmação (a):

Afirmação: A derivada da função é .
Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função exponencial com base constante. A regra geral para derivadas de funções da forma , onde é uma constante, é:
Aplicando isso à nossa função :
Agora, vamos comparar com a afirmação dada:
Claramente, não é igual a . Portanto, a derivada apresentada na afirmação está incorreta.

Passo 3

Analisando a afirmação (b):

Afirmação: A derivada da função é .
Aqui, temos uma função potência onde o expoente é uma constante ( ). A regra para derivar , onde é uma constante, é:
Aplicando isso à nossa função :
Essa é exatamente a derivada que foi apresentada na afirmação. Portanto, a derivada está correta.

Passo 4

Analisando a afirmação ©:

Afirmação: Se é ímpar, então é par.
Vamos lembrar as definições:
  • Função ímpar: para todo no domínio.
  • Função par: para todo no domínio.
Queremos saber se, ao derivar uma função ímpar, a derivada resultante é uma função par.
Vamos derivar ambos os lados da equação da função ímpar:
Derivando em relação a :
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Simplificando:
Isso significa que , o que é exatamente a definição de uma função par. Portanto, se é ímpar, sua derivada é par.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
© Verdadeira.

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