Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando suas afirmações:
(a) A derivada da função
é
.
(b) A derivada da função
é
.
© Se
é ímpar, então
é par.
(a) A derivada da função
(b) A derivada da função
© Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar três afirmações sobre derivadas e dizer se são verdadeiras ou falsas, justificando cada uma. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como regras de derivação e propriedades de funções ímpares e pares. Vamos precisar entender como calcular derivadas de funções exponenciais e potências, além de lembrar o que significam funções ímpares e pares.
Passo 2
Analisando a afirmação (a):
Afirmação: A derivada da função
é
.
Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função exponencial com base constante. A regra geral para derivadas de funções da forma
, onde
é uma constante, é:
Aplicando isso à nossa função
:
Agora, vamos comparar com a afirmação dada:
Claramente,
não é igual a
. Portanto, a derivada apresentada na afirmação está incorreta.
Passo 3
Analisando a afirmação (b):
Afirmação: A derivada da função
é
.
Aqui, temos uma função potência onde o expoente é uma constante (
). A regra para derivar
, onde
é uma constante, é:
Aplicando isso à nossa função
:
Essa é exatamente a derivada que foi apresentada na afirmação. Portanto, a derivada está correta.
Passo 4
Analisando a afirmação ©:
Afirmação: Se
é ímpar, então
é par.
Vamos lembrar as definições:
- Função ímpar:
para todo no domínio. - Função par:
para todo no domínio.
Queremos saber se, ao derivar uma função ímpar, a derivada resultante é uma função par.
Vamos derivar ambos os lados da equação da função ímpar:
Derivando em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Simplificando:
Isso significa que
, o que é exatamente a definição de uma função par. Portanto, se
é ímpar, sua derivada
é par.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
© Verdadeira.