Esboce o gráfico das funções arccos(x) e arctg(x), e mostre que
(arccos(x))' = -1/raiz(1 - x^2) e (arctg(x))' = 1/(1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções: arccos(x) e arctg(x). Queremos desenhar os gráficos dessas funções e mostrar como são suas derivadas. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre as funções trigonométricas inversas e como calcular derivadas delas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a função arccos(x). Essa função é a inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0, pi]. Ou seja, para um valor de , temos que onde y está entre 0 e pi. O domínio da arccos(x) é [-1, 1] e seu contradomínio é [0, pi].

Passo 3

Agora, vamos para a função arctg(x), que é a inversa da função tangente, restrita ao intervalo . Isso significa que para um valor , temos com y entre e pi / 2. O domínio da arctg(x) é todo o conjunto dos números reais R e seu contradomínio é .

Passo 4

Vamos esboçar os gráficos dessas funções:
  • Gráfico de arccos(x):
    • Quando x = 1, .
    • Quando x = 0, .
    • Quando , .
    • O gráfico é uma curva decrescente que vai de a .
  • Gráfico de arctg(x):
    • Quando x = 0, .
    • Quando x tende a +infinito, arctg(x) se aproxima de pi / 2.
    • Quando x tende a -infinito, arctg(x) se aproxima de .
    • O gráfico é uma curva que passa pela origem e tem assíntotas horizontais em e .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções. Lembrando que a derivada de uma função inversa pode ser encontrada usando a regra:

Passo 6

Para arccos(x), sabemos que , então . Aplicando a regra da derivada da função inversa:
Mas (pela identidade trigonométrica ). Portanto:

Passo 7

Para arctg(x), temos , então . Aplicando a regra da derivada da função inversa:
Como , fica:

Resposta

As derivadas são e .

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