Esboce o gráfico das funções
e
, e mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
e
. Queremos desenhar os gráficos dessas funções e mostrar como são suas derivadas. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre as funções trigonométricas inversas e como calcular derivadas delas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a função
. Essa função é a inversa da função cosseno restrita ao intervalo
. Ou seja, para um valor de
, temos que
onde
está entre
e
. O domínio da
é
e seu contradomínio é
.
Passo 3
Agora, vamos para a função
, que é a inversa da função tangente, restrita ao intervalo
. Isso significa que para um valor
, temos
com
entre
e
. O domínio da
é todo o conjunto dos números reais
e seu contradomínio é
.
Passo 4
Vamos esboçar os gráficos dessas funções:
-
Gráfico de
: - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, . - O gráfico é uma curva decrescente que vai de
a .
- Quando
-
Gráfico de
: - Quando
, . - Quando
tende a , se aproxima de . - Quando
tende a , se aproxima de . - O gráfico é uma curva que passa pela origem e tem assíntotas horizontais em
e .
- Quando
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções. Lembrando que a derivada de uma função inversa pode ser encontrada usando a regra:
Passo 6
Para
, sabemos que
, então
. Aplicando a regra da derivada da função inversa:
Mas
(pela identidade trigonométrica
). Portanto:
Passo 7
Para
, temos
, então
. Aplicando a regra da derivada da função inversa:
Como
, fica:
Resposta
As derivadas são
e
.