Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) linear homogênea com coeficientes constantes. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Basicamente, vamos encontrar soluções que satisfazem essa equação usando o método dos coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, a gente cria a chamada equação característica. Isso envolve substituir
por
,
por
, e
por 1 na equação original. Então, nossa equação fica assim:
Essa equação nos ajuda a encontrar os valores de
que vão nos dar as soluções da EDO.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
. A equação é quadrática, então podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo esses valores:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, os valores de
serão números complexos.
Passo 4
Vamos simplificar os valores de
que encontramos:
Isso significa que nossas raízes são complexas e têm a forma
, onde:
Passo 5
Quando a equação característica tem raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais (que neste caso não temos, então deixamos como constantes).
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial
é:
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Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
Dada
determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(a)
$(a)
Dada
determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(b)
$(b)