Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
y'' - y' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) linear homogênea com coeficientes constantes. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Basicamente, vamos encontrar soluções que satisfazem essa equação usando o método dos coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, a gente cria a chamada equação característica. Isso envolve substituir por , y' por r, e y por 1 na equação original. Então, nossa equação fica assim:
Essa equação nos ajuda a encontrar os valores de r que vão nos dar as soluções da EDO.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de r. A equação é quadrática, então podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo esses valores:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, os valores de r serão números complexos.

Passo 4

Vamos simplificar os valores de r que encontramos:
Isso significa que nossas raízes são complexas e têm a forma , onde:

Passo 5

Quando a equação característica tem raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde e são constantes que a gente determina com condições iniciais (que neste caso não temos, então deixamos como constantes).

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

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integral0^2 integral0^x^2 y d y d x+165
Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
y'' + 2y' = 0
Dada a_n determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(a) a
Dada a_n determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(b) b