Seja um disco de raio a, centrado no plano x y, carregado com uma densidade superficial uniforme de cargas rhos[C / m^2 ).
b. Determine o potencial escalar elétrico em um ponto (0,0, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de eletrostática! A gente tem um disco com raio $ a $, no plano $ xy $, com uma densidade superficial de carga uniforme $ \rho_s $. A pergunta é: qual é o potencial elétrico nesse ponto $ (0, 0, z) $? Para resolver isso, vamos precisar usar a lei de Coulomb para potenciais e integrar a contribuição de todas as pequenas partes do disco até chegar no potencial total nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ devido a uma carga $ dq $ em um ponto é dado por:
V
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ r $ é a distância entre a carga $ dq $ e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Como o disco é simétrico e estamos calculando o potencial no ponto $ (0, 0, z) $ ao longo do eixo $ z $, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos considerar um anel de raio $ \rho $ e espessura $ d\rho $ no disco. A área desse anel é $ dA = 2\pi\rho,d\rho $.

Passo 4

A carga nesse anel é:
dq = rhos , dA = rhos cdot 2pirho,drho
A distância do anel até o ponto $ (0, 0, z) $ é:
(0, 0, z)
Então, o potencial devido a esse anel é:
r = raizrho^2 + z^2

Passo 5

Simplificando a expressão para $ dV $:
dV
Agora, para encontrar o potencial total $ V $, integramos $ dV $ de $ \rho = 0 $ até $ \rho = a $:
dV = rhos2varepsilon0 cdot rho,drhoraizrho^2 + z^2

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral rho,drhoraizrho^2 + z^2 = raizrho^2 + z^2 + C
Aplicando os limites de integração:
raizrho^2 + z^2 |0^a = raiza^2 + z^2 - raiz0 + z^2 = raiza^2 + z^2 - |z|
Como $ z $ pode ser positivo ou negativo, mas estamos trabalhando com distâncias, podemos considerar $ z $ positivo para simplificar.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do potencial:
V = rhos2varepsilon0 ( raiza^2 + z^2 - z )

Resposta

O potencial elétrico no ponto $ (0, 0, z) $ é:
(0, 0, z)

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