Seja um disco de raio
, centrado no plano
, carregado com uma densidade superficial uniforme de cargas
).
b. Determine o potencial escalar elétrico em um ponto
.
b. Determine o potencial escalar elétrico em um ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de eletrostática! A gente tem um disco com raio $ a $, no plano $ xy $, com uma densidade superficial de carga uniforme $ \rho_s $. A pergunta é: qual é o potencial elétrico nesse ponto $ (0, 0, z) $? Para resolver isso, vamos precisar usar a lei de Coulomb para potenciais e integrar a contribuição de todas as pequenas partes do disco até chegar no potencial total nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ devido a uma carga $ dq $ em um ponto é dado por:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ r $ é a distância entre a carga $ dq $ e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
Como o disco é simétrico e estamos calculando o potencial no ponto $ (0, 0, z) $ ao longo do eixo $ z $, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos considerar um anel de raio $ \rho $ e espessura $ d\rho $ no disco. A área desse anel é $ dA = 2\pi\rho,d\rho $.
Passo 4
A carga nesse anel é:
A distância do anel até o ponto $ (0, 0, z) $ é:
Então, o potencial devido a esse anel é:
Passo 5
Simplificando a expressão para $ dV $:
Agora, para encontrar o potencial total $ V $, integramos $ dV $ de $ \rho = 0 $ até $ \rho = a $:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração:
Como $ z $ pode ser positivo ou negativo, mas estamos trabalhando com distâncias, podemos considerar $ z $ positivo para simplificar.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do potencial:
Resposta
O potencial elétrico no ponto $ (0, 0, z) $ é: