Uma dada distribuição de cargas no espaço livre produz o seguinte campo elétrico:
em que k é uma constante. Considere os itens a seguir.
c. Determine a carga total (Q) contida no espaço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de eletrostática juntos! A gente tem um campo elétrico definido em diferentes regiões do espaço, e o que precisamos descobrir aqui é qual é a carga total $ Q $ que está presente nesse espaço. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta super útil para relacionar o campo elétrico com a carga que o gera.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que a integral do campo elétrico $ \vec{E} $ através de uma superfície fechada $ S $ é igual à carga total $ Q $ dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $. Em fórmula, isso fica:
E
Isso nos ajuda a relacionar o campo elétrico com a carga que o está produzindo.
Passo 3
Agora, vamos analisar o campo elétrico dado:
E = cc 0 & r < a k2 varepsilon0 (r^2-a^2)r^2 r & a < r < b k2 varepsilon0 (b^2-a^2)r^2 r & r > b
Note que o campo tem simetria esférica, pois depende apenas de $ r $ e aponta na direção radial $ \hat{r} $. Isso significa que podemos escolher uma superfície gaussiana esférica para facilitar os cálculos.
Passo 4
Para encontrar a carga total $ Q $, vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio $ r > b $, pois dessa forma estaremos incluindo todas as cargas presentes nas regiões $ a < r < b $ e $ r > b $. Assim, a carga total dentro dessa superfície é $ Q $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral do campo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo é radial e a superfície é uma esfera, a integral fica mais simples:
ointS E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2
Substituindo o valor de $ E® $ para $ r > b $:
E(r)
Então:
r > b
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
k2 varepsilon0 cdot 4pi (b^2-a^2) = Qvarepsilon0
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por $ \varepsilon_{0} $:
varepsilon0
Passo 7
Simplificando os termos:
Q = 2pi k (b^2-a^2)
Resposta
A carga total contida no espaço é $ Q = 2\pi k \left(b{2}-a{2}\right) $.