Uma dada distribuição de cargas no espaço livre produz o seguinte campo elétrico:
E=cc 0 & rb
em que k é uma constante. Considere os itens a seguir.
b. Determine a densidade volumétrica de cargas (rhov) em todo o espaço. Interprete fisicamente esse resultado.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver um exercício de eletrostática! A gente tem uma distribuição de cargas no espaço que gera um campo elétrico diferente dependendo da distância $ r $ de um ponto até o centro. Nosso objetivo aqui é encontrar a densidade volumétrica de carga $ \rho_v $ em todo o espaço e entender o que isso significa fisicamente. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss na sua forma diferencial, que relaciona o campo elétrico com a densidade de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss na forma diferencial:
nabla cdot E = rhovvarepsilon0
Isso significa que a divergência do campo elétrico $ \vec{E} $ é igual à densidade de carga $ \rho_v $ dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $. Nosso objetivo é encontrar $ \rho_v $, então vamos reorganizar a equação:
E

Passo 3

Como o campo elétrico $ \vec{E} $ depende apenas da distância $ r $ e está na direção radial $ \hat{r} $, é conveniente usar coordenadas esféricas para calcular a divergência. Em coordenadas esféricas, para um campo radial $ \vec{E} = E_r® \hat{r} $, a divergência é dada por:
E
Vamos aplicar isso em cada uma das três regiões definidas no problema.

Passo 4

Região 1: $ r < a $
Aqui, o campo elétrico é nulo:
r < a
Então,
E = 0
Portanto,
nabla cdot E = 1r^2 ddr(r^2 cdot 0) = 0
Interpretação: Não há carga na região $ r < a $.

Passo 5

Região 2: $ a < r < b $
O campo elétrico é dado por:
a < r < b
Vamos identificar $ E_r $:
E = k2 varepsilon0 r^2 - a^2r^2 r
Agora, calculamos a divergência:
Er
Derivando em relação a $ r $:
Er = k2 varepsilon0 r^2 - a^2r^2
Então,
nabla cdot E = 1r^2 ddr(r^2 cdot k2 varepsilon0 r^2 - a^2r^2) = 1r^2 ddr(k2 varepsilon0 (r^2 - a^2))
Agora, encontramos $ \rho_v $:
r
Interpretação: Há uma densidade de carga que diminui com $ 1/r $ nessa região.

Passo 6

Região 3: $ r > b $
O campo elétrico é:
r > b
Identificando $ E_r $:
E = k2 varepsilon0 b^2 - a^2r^2 r
Calculando a divergência:
Er
Portanto,
Er = k2 varepsilon0 b^2 - a^2r^2
Interpretação: Não há carga na região $ r > b $.

Passo 7

Agora, juntando tudo:
  • Para $ r < a $: $ \rho_v = 0 $
  • Para $ a < r < b $: $ \rho_v = \frac{k}{r} $
  • Para $ r > b $: $ \rho_v = 0 $
Fisicamente, isso significa que toda a carga está distribuída apenas na camada entre $ a $ e $ b $, com a densidade de carga diminuindo conforme $ 1/r $ dentro dessa camada. Fora dessa região, não há carga presente.

Resposta

A densidade volumétrica de cargas $ \rho_v $ é dada por:
rhov
Fisicamente, isso indica que as cargas estão distribuídas apenas na região entre $ a $ e $ b $, com a densidade de carga diminuindo com o aumento de $ r rhov(r) = 0 & para r < a dfrackr & para a < r < b 0 & para r > b ãáõ r < a a r > b $).

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