Uma dada distribuição de cargas no espaço livre produz o seguinte campo elétrico:
E=cc 0 & rb
em que k é uma constante. Considere os itens a seguir.
a. Prove que E é um campo eletrostático.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício dá um campo elétrico E definido de três jeitos diferentes dependendo da distância r de um ponto. A gente precisa provar que esse campo é um campo eletrostático. Isso está dentro do conteúdo de Eletrostática, que estuda campos elétricos gerados por cargas em repouso. Para resolver, vamos verificar se o campo satisfaz as condições de um campo eletrostático, como ter o rotacional igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo eletrostático é estático, ou seja, não muda com o tempo. Isso significa que as derivadas temporais das componentes do campo são zero. No nosso caso, como o enunciado não menciona nenhum comportamento temporal, podemos assumir que E é independente do tempo.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o rotacional de E é zero em todas as regiões. O rotacional ( nabla times E) nos diz se há alguma rotação no campo. Se for zero, o campo é conservativo, característica de um campo eletrostático.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional em cada região:
  1. Para r < a:
    E = 0
    O rotacional de um campo zero é obviamente zero.
  2. Para a < r < b:
    E = k2 varepsilon0 r^2 - a^2r^2 r
    Esse campo é radial e só depende de r. Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo radial que só depende de r é zero.
  3. Para r > b:
    E = k2 varepsilon0 b^2 - a^2r^2 r
    Similarmente, esse campo também é radial e depende apenas de r, então o rotacional é zero.

Passo 5

Como o rotacional de E é zero em todas as regiões e o campo é estático, podemos concluir que E é um campo eletrostático.

Resposta

Assim, demonstramos que o campo elétrico E dado é um campo eletrostático porque ele é estático e seu rotacional é zero em todas as regiões consideradas.

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