Uma dada distribuição de cargas no espaço livre produz o seguinte campo elétrico:
em que k é uma constante. Considere os itens a seguir.
a. Prove que E é um campo eletrostático.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício dá um campo elétrico E definido de três jeitos diferentes dependendo da distância r de um ponto. A gente precisa provar que esse campo é um campo eletrostático. Isso está dentro do conteúdo de Eletrostática, que estuda campos elétricos gerados por cargas em repouso. Para resolver, vamos verificar se o campo satisfaz as condições de um campo eletrostático, como ter o rotacional igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo eletrostático é estático, ou seja, não muda com o tempo. Isso significa que as derivadas temporais das componentes do campo são zero. No nosso caso, como o enunciado não menciona nenhum comportamento temporal, podemos assumir que E é independente do tempo.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o rotacional de E é zero em todas as regiões. O rotacional (nabla times E) nos diz se há alguma rotação no campo. Se for zero, o campo é conservativo, característica de um campo eletrostático.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional em cada região:
Para r < a:
E = 0
O rotacional de um campo zero é obviamente zero.
Para a < r < b:
E = k2 varepsilon0 r^2 - a^2r^2 r
Esse campo é radial e só depende de r. Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo radial que só depende de r é zero.
Para r > b:
E = k2 varepsilon0 b^2 - a^2r^2 r
Similarmente, esse campo também é radial e depende apenas de r, então o rotacional é zero.
Passo 5
Como o rotacional de E é zero em todas as regiões e o campo é estático, podemos concluir que E é um campo eletrostático.
Resposta
Assim, demonstramos que o campo elétrico E dado é um campo eletrostático porque ele é estático e seu rotacional é zero em todas as regiões consideradas.